TET Maths Notes క. సా. గు

టెట్ (TET) పరీక్షల కోసం గణిత శాస్త్రంలో 'కసాగు' (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం - Least Common Multiple) చాలా ముఖ్యమైన మరియు సులభమైన అంశం. దీనికి సంబంధించిన పూర్తి వివరాలు మరియు నోట్స్ క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

1. కసాగు (LCM) నిర్వచనం

ఇచ్చిన రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క సామాన్య గుణిజాలలో అన్నిటికంటే చిన్నదైన (కనిష్ఠ) గుణిజాన్ని ఆ సంఖ్యల "కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం" (కసాగు) అంటారు. ఇంగ్లీషులో దీనిని LCM (Lowest Common Multiple) అంటారు.

2. కసాగును కనుగొనే ప్రధాన పద్ధతులు

ఎ) ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి (Prime Factorization Method)

ఇచ్చిన సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విడగొట్టి, ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం యొక్క గరిష్ట ఘాతాన్ని (Highest Power) తీసుకొని గుణించగా వచ్చే లబ్ధమే ఆ సంఖ్యల కసాగు అవుతుంది.

• ఉదాహరణ: 12, 18 ల కసాగు కనుగొనుము.
  • 12 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 2 × 2 × 3 (అంటే 2² × 3¹)
  • 18 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 2 × 3 × 3 (అంటే 2¹ × 3²)
  • ఇక్కడ 2 మరియు 3 ల గరిష్ట ఘాతాలు 2², 3².
  • కసాగు = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.
  • 
    

బి) భాగాహార పద్ధతి (Division Method)

ఇచ్చిన సంఖ్యలను వరుసగా రాసి, వాటిని కనిష్ట ప్రధాన సంఖ్యలతో (2, 3, 5, 7...) నిశ్శేషంగా భాగించాలి. చివరి వరుసలో అన్ని పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (Co-primes) వచ్చేవరకు లేదా 1 వచ్చే వరకు ఈ ప్రక్రియను కొనసాగించాలి. బయటి వైపు ఉన్న సంఖ్యల లబ్ధమే కసాగు అవుతుంది.

3. ముఖ్యమైన ఫార్ములాలు మరియు ధర్మాలు

1. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = (ఆ సంఖ్యల కసాగు) × (ఆ సంఖ్యల గసాభా)
   • దీని ఆధారంగా: ఒక సంఖ్య = (కసాగు × గసాభా) / రెండవ సంఖ్య
2. భిన్నాల కసాగు (LCM of Fractions):
   • భిన్నాల కసాగు = (లవాల కసాగు) / (హారాల గసాభా)
3. ఒక సంఖ్య మరొక సంఖ్యకు కారణాంకం అయితే, ఆ రెండింటిలో పెద్ద సంఖ్యే వాటి కసాగు అవుతుంది. (ఉదా: 4, 12 ల కసాగు = 12).
4. ఏవైనా రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల కసాగు ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్ధానికి సమానం. (ఉదా: 3, 5 ల కసాగు = 3 × 5 = 15).

4. టెట్ (TET) పరీక్షా దృష్ట్యా గుర్తుంచుకోవాల్సిన చిట్కాలు (Tips)

• ప్రశ్నలో "కనీసం", "ఒకేసారి కలుస్తాయి", "చిన్నది" వంటి పదాలు వస్తే, సాధారణంగా అక్కడ ఇచ్చిన సంఖ్యలకు కసాగు కనుగొనవలసి ఉంటుందని గుర్తించాలి.
• గడియారపు ముళ్లు ఒక నిర్దిష్ట సమయం తర్వాత మళ్లీ ఎప్పుడు కలుస్తాయి, లేదా రన్నింగ్ ట్రాక్ పై ముగ్గురు వ్యక్తులు ఒకేసారి ఎప్పుడు ప్రారంభ స్థానానికి చేరుకుంటారు వంటి ప్రామాణిక సమస్యలన్నింటికీ కసాగు పద్ధతినే ఉపయోగిస్తారు.

టెట్ (TET) పరీక్షా దృష్ట్యా కసాగు (LCM) అంశంపై అభ్యర్థులను గందరగోళానికి గురిచేసే మరియు ఆలోచింపజేసే 5 కష్టతరమైన ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు - జవాబులు (వివరణతో సహా):

ప్రశ్న 1:

12, 16 మరియు 24 ల చే భాగించినప్పుడు వరుసగా 7, 11 మరియు 19 శేషాలను ఇచ్చు కనిష్ట సంఖ్య ఏది?

 * జవాబు: 43

 * సాధన / వివరణ:

   ఇలాంటి లెక్కల్లో మొదట సంఖ్యలకు, వాటి శేషాలకు మధ్య గల వ్యత్యాసాన్ని చూడాలి.

   *    *    * 24 - 19 = 5

     ఇక్కడ ప్రతిచోటా వ్యత్యాసం '5' సమానంగా వచ్చింది.

     ఇప్పుడు ఇచ్చిన సంఖ్యల (12, 16, 24) కసాగు కనుగొనాలి.

   * 12, 16, 24 ల కసాగు = 48

   * కావలసిన కనిష్ట సంఖ్య = (కసాగు) - (సాధారణ వ్యత్యాసం)

   * సంఖ్య = 48 - 5 = 43.

ప్రశ్న 2:

నాలుగు గంటలు వరుసగా 30 నిమిషాలు, 1 గంట, 1 గంట 30 నిమిషాలు మరియు 1 గంట 45 నిమిషాల వ్యవధులతో మోగుతాయి. ఉదయం 8:00 గంటలకు అన్నీ కలిపి మోగితే, మళ్లీ అన్నీ కలిపి ఏ సమయంలో మోగుతాయి?

 * జవాబు: మరుసటి రోజు తెల్లవారుజామున 5:00 గంటలకు

 * సాధన / వివరణ:

   మొదట అన్ని కాల వ్యవధులను నిమిషాలలోకి మార్చాలి:

   * 30 నిమిషాలు = 30 ని

   * 1 గంట = 60 ని

   * 1 గంట 30 నిమిషాలు = 90 ని

   * 1 గంట 45 నిమిషాలు = 105 ని

     ఇప్పుడు 30, 60, 90 మరియు 105 ల కసాగు కనుగొనాలి:

   * 30 = 2 × 3 × 5

   * 60 = 2^2 × 3 × 5

   * 90 = 2 × 3^2 × 5

   * 105 = 3 × 5 × 7

   * కసాగు (గరిష్ట ఘాతాలు) = 2² × 3² × 5¹ × 7¹ = 4 × 9 × 5 × 7 = 1260 నిమిషాలు.

     నిమిషాలను గంటలలోకి మార్చగా: 1260 / 60 = 21 గంటలు.

     ఇచ్చిన సమయం (ఉదయం 8:00 AM) + 21 గంటలు = మరుసటి రోజు తెల్లవారుజామున 5:00 గంటలు.

ప్రశ్న 3:

రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2160 మరియు వాటి గసాభా (HCF) 12 అయిన, అటువంటి సంఖ్యల జతల సంఖ్య ఎంత?

 * జవాబు: 2 జతలు

 * సాధన / వివరణ:

   గసాభా 12 కాబట్టి, ఆ సంఖ్యలను 12x మరియు 12y అనుకుందాం (ఇక్కడ x, y లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు).

   * సంఖ్యల లబ్ధం = (12x) × (12y) = 144xy

   * ప్రశ్న ప్రకారం, 144xy = 2160

   * xy = 2160 / 144 = 15

     ఇప్పుడు లబ్ధం 15 వచ్చే పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల జతలు (x, y):

   * (1, 15) (1 × 15 = 15)

   * (3, 5) (3 × 5 = 15)

     కావున, అటువంటి సాధ్యపడే జతల సంఖ్య 2.

ప్రశ్న 4:

15, 25, 40 మరియు 75 ల చే నిశ్శేషంగా భాగించబడే అతి పెద్ద 4 అంకెల సంఖ్య ఏది?

 * జవాబు: 9600

 * సాధన / వివరణ:

   మొదట 15, 25, 40 మరియు 75 ల కసాగును కనుగొనాలి:

   * 15 = 3 × 5

   * 25 = 5²

   * 40 = 2³ × 5

   * 75 = 3 × 5²

   * కసాగు = 2³ × 3 × 5² = 8 × 3 × 25 = 600.

     అతి పెద్ద 4 అంకెల సంఖ్య = 9999.

     ఇప్పుడు 9999 ని 600 తో భాగించాలి:

   * 9999 / 600 చేయగా భాగఫలం 16 వస్తుంది, శేషం 399 మిగులుతుంది.

   * కావలసిన అతి పెద్ద 4 అంకెల సంఖ్య = 9999 - 399 =9600

ప్రశ్న 5:

20, 25, 35 మరియు 40 ల చే భాగించినప్పుడు వరుసగా 14, 19, 29 మరియు 34 శేషాలను ఇచ్చు కనిష్ట సంఖ్య ఏది?

 * జవాబు: 1394

 * సాధన / వివరణ:

   ప్రతి సంఖ్యకు, దాని శేషానికి మధ్య గల వ్యత్యాసాన్ని గమనించండి:

   *    *    *    * 40 - 34 = 6

     ఇక్కడ కూడా సాధారణ వ్యత్యాసం '6' వచ్చింది.

     ఇప్పుడు 20, 25, 35, 40 ల కసాగు కనుగొనాలి:

   * 20 = 2^2 × 5

   * 25 = 5^2

   * 35 = 5 × 7

   * 40 = 2^3 × 5

   * కసాగు = 2³ × 5² × 7 = 8 × 25 × 7 = 1400.

   * కావలసిన కనిష్ట సంఖ్య = (కసాగు) - (సాధారణ వ్యత్యాసం)

   * సంఖ్య = 1400 - 6 = 1394