TET Maths Notes - గరిష్ట సాధారణ భాజకం (గాసాభ / HCF)

టెట్ (TET) గణితం – గరిష్ట సాధారణ భాజకం (గాసాభ / HCF) 

పై సమగ్రమైన నోట్స్ క్రింద ఇవ్వబడింది.

1. పరిచయం (Introduction)

• గాసాభ అనగా "గరిష్ట సాధారణ భాజకం" (Highest Common Factor - HCF). దీనినే GCD (Greatest Common Divisor) అని కూడా అంటారు.
• నిర్వచనం: ఇచ్చిన రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యలను నిశ్శేషంగా భాగించే సామాన్య భాజకములలో అన్నింటికంటే పెద్దదైన దానిని ఆ సంఖ్యల గాసాభ అంటారు.

2. గాసాభ ను కనుగొనే పద్ధతులు (Methods to Find HCF)

ప్రాథమికంగా గాసాభను కనుగొనడానికి క్రింది మూడు పద్ధతులను ఉపయోగిస్తారు:

ఎ) అపవర్తన పద్ధతి (Listing Factors Method)

ప్రతి సంఖ్య యొక్క అపవర్తాలను (Factors) రాసి, వాటిలో ఉమ్మడిగా ఉన్న వాటిలో గరిష్ట విలువను ఎంచుకోవడం.

• ఉదాహరణ: 12 మరియు 18 ల గాసాభ కనుగొనుము.
  • 12 యొక్క అపవర్తనాలు: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • 18 యొక్క అపవర్తనాలు: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  • సామాన్య అపవర్తనాలు (Common Factors): 1, 2, 3, 6
  • వీటిలో గరిష్టమైనది: 6
  • కావున, గాసాభ (12, 18) = 6.

బి) ప్రధాన కారణాంక విభజన పద్ధతి (Prime Factorization Method)

ఇచ్చిన సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విడగొట్టి, ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాల యొక్క కనిష్ట ఘాతాలను (Lowest Powers) తీసుకోవాలి.

• ఉదాహరణ: 24, 36 మరియు 60 ల గాసాభ కనుగొనుము.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3¹
  • 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3¹ × 5¹
  • ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాలు 2 మరియు 3. వీటిలో కనిష్ట ఘాతాలు 2², 3¹
  • గాసాభ= 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12.

సి) భాగహార పద్ధతి (Division Method / Euclidean Algorithm)

పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి. వచ్చే శేషంతో పూర్వపు భాజకాన్ని భాగించాలి. శేషం 'సున్నా' వచ్చే వరకు ఈ ప్రక్రియను కొనసాగించాలి. చివరిగా ఏ సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు శేషం సున్నా వస్తుందో, అదే ఆ సంఖ్యల గాసాభ అవుతుంది.

• ఉదాహరణ: 28 మరియు 70 ల గాసాభ.
  • 70 / 28 => 28 × 2 = 56, శేషం = 14
  • ఇప్పుడు 28 ని 14 తో భాగించాలి: 28 /14 => 14 × 2 = 28, శేషం = 0
  • చివరి భాజకం 14. కావున గాసాభ = 14.

3. ముఖ్యమైన ధర్మాలు & షార్ట్‌కట్స్ (Important Properties & Shortcuts)

1. ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime Numbers): ఏవైనా రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ప్రధాన సంఖ్యల గాసాభ ఎల్లప్పుడూ 1 అవుతుంది. (ఉదా: 7, 13 ల గాసాభ = 1).
2. పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (Co-primes): పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల గాసాభ ఎల్లప్పుడూ 1 అవుతుంది.
3. కసాగు మరియు గాసాభల మధ్య సంబంధం: రెండు సంఖ్యల లబ్దం వాటి కసాగు (LCM) మరియు గాసాభ (HCF) లబ్ధానికి సమానం. రెండు సంఖ్యల లబ్దం} = LCM} × HCF
4. భిన్నాల గాసాభ (HCF of Fractions): భిన్నాల గాసాభ = {లవాల గాసాభ /(HCF of Numerators)}}హారాల కసాగు (LCM of Denominators)
5. ఘాత రూపంలో ఉన్న సంఖ్యలు: ఒకే భూమి (Base) కలిగి ఉన్న సంఖ్యల గాసాభ కనుగొనేటప్పుడు కనిష్ట ఘాతం (Lowest Power) గల పదాన్ని గాసాభగా తీసుకోవాలి.

4. TET పరీక్ష కోసము మోడల్ బిట్స్ (Model Bits for TET)

• ప్రశ్న 1: 2³ × 3²× 5, 2² × 3³ × 5² మరియు 2⁴ × 3 × 5³ ల గాసాభ ఎంత?
  • సాధన: ఉమ్మడి ప్రధాన కారణాంకాలు 2, 3, 5. వీటి కనిష్ట ఘాతాలు 2², 3¹, 5¹.
  • గాసాభ = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60.
• ప్రశ్న 2: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3:4 మరియు వాటి గాసాభ 5 అయిన ఆ సంఖ్యలు ఏవి?
  • సాధన: సంఖ్యలు 3x, 4x అనుకుంటే, గాసాభ x = 5 అవుతుంది.
  • ఆ సంఖ్యలు: 3 × 5 = 15, 4 × 5 = 20.
• ప్రశ్న 3: 2/3, 4/5, 6/7 ల గాసాభ కనుగొనుము.
  • సాధన: గాసాభ = లవాల గాసాభ (2, 4, 6)/హారాల కసాగు (3, 5, 7)
  • లవాల గాసాభ (2, 4, 6) = 2
  • హారాల కసాగు (3, 5, 7) = 3 × 5 × 7 = 105
  • జవాబు: 2/105