రేఖీయ సమీకరణాలు మరియు వాటి గ్రాఫ్‌లు

టెట్ (TET) పేపర్-2 గణిత సిలబస్ కోసం రేఖీయ సమీకరణాలు మరియు వాటి గ్రాఫ్‌లు (Linear Equations and their Graphs) గురించిన సమగ్ర నోట్స్ క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

1. రేఖీయ సమీకరణాలు - పరిచయం

• చరరాశి యొక్క గరిష్ట ఘాతాంకం (Degree) 1 కలిగిన బీజీయ సమాసాలను రేఖీయ సమీకరణాలు (Linear Equations) అంటారు.
• ఒక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణం సాధారణ రూపం: ax + b = 0 (ఇక్కడ a not = 0). దీని సాధన ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఉంటుంది.
• రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం సాధారణ రూపం: ax + by + c = 0 (ఇక్కడ a, b లు ఒకేసారి సున్నా కావు).

2. గ్రాఫికల్ నిరూపణ (Graphical Representation)

• రెండు చరరాశులలోని రేఖీయ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ ఎల్లప్పుడూ ఒక సరళ రేఖ (Straight Line) అవుతుంది.
• గ్రాఫ్ గీయడానికి కనీసం రెండు లేదా మూడు సాధనలను (Solutions) పట్టిక రూపంలో కనుగొనాలి.
• సమీకరణంలో x = 0 ప్రతిక్షేపించి y-ఖండన బిందువును, y = 0 ప్రతిక్షేపించి x-ఖండన బిందువును సులభంగా రాబట్టవచ్చు.

3. వాలు (Slope) మరియు సమీకరణ రూపాలు

• రేఖీయ సమీకరణాన్ని సాధారణంగా y = mx + c రూపంలో రాస్తారు.
• వాలు (m): రేఖ వాలును m = (y2 - y1)÷(x2 - x1) లేదా -(xగుణకం)/(yగుణకం) (a/b) సూత్రం ద్వారా కనుగొంటారు.
• x-అక్షం యొక్క వాలు సున్నా (0) కాగా, నిలువు రేఖ (Vertical line) యొక్క వాలు అనంతం (\infty).

4. రేఖల స్వభావం - సాధనలు (TET మోడల్ బిందువులు)

రెండు రేఖీయ సమీకరణాల జత a_1x + b_1y + c_1 = 0 మరియు a_2x + b_2y + c_2 = 0 అయినప్పుడు:

• ఖండన రేఖలు (Intersecting Lines): (a1)/(a2) =b1/b2 అయితే, రేఖలు ఖండించుకుంటాయి. వీటికి ఒకే ఒక ఖచ్చితమైన సాధన ఉంటుంది (Consistent).
• సమాంతర రేఖలు (Parallel Lines): {a_1}/{a_2} = {b_1}/{b_2} {c_1}/{c_2} అయితే, రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి. వీటికి సాధన ఉండదు (Inconsistent).
• ఏకీభవించే రేఖలు (Coincident Lines): (a_1}/{a_2} = {b_1}/{b_2} = {c_1}/{c_2} అయితే, రేఖలు ఒకదానిపై ఒకటి ఉంటాయి. వీటికి అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి (Dependent & Consistent).