కార్డినల్ సంఖ్యలు, ప్రధాన సంఖ్యలు, సంయుక్త సంఖ్యలు, కవల ప్రధాన సంఖ్యల

కార్డినల్ సంఖ్యలు మరియు ప్రధాన సంఖ్యల గురించిన సమగ్ర నోట్స్ క్రింద ఇవ్వబడింది.

1. కార్డినల్ సంఖ్యలు (Cardinal Numbers)

నిర్వచనం: ఒక ఇచ్చిన సమితిలోని (Set) మొత్తం మూలకాల సంఖ్యను ఆ సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య అంటారు. దీనిని సాధారణంగా n(A) రూపంలో సూచిస్తారు (ఇక్కడ A అనేది సమితి పేరు).

ఉదాహరణలు:

• ఉదాహరణ 1: A = 2, 4, 6, 8, 10 అనే సమితిని తీసుకుందాం.
  • ఈ సమితిలో మొత్తం 5 మూలకాలు ఉన్నాయి.
  • కావున, సమితి A యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య n(A) = 5
• ఉదాహరణ 2: ఆంగ్ల అక్షరమాలలోని అచ్చుల సమితి V = a, e, i, o, u
  • ఇందులో మొత్తం 5 అచులు ఉన్నాయి. కాబట్టి n(V) = 5
• ఖాళీ సమితి (Empty Set): ఖాళీ సమితి \phi లేదా \{\} లో ఎలాంటి మూలకాలు ఉండవు. కావున దీని కార్డినల్ సంఖ్య సున్నా (0) అవుతుంది (n(\phi) = 0).

2. ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime Numbers)

నిర్వచనం: 1 కన్నా ఎక్కువై, 1 చేత మరియు అదే సంఖ్య చేత మాత్రమే నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు. ఈ సంఖ్యలకు కేవలం రెండే రెండు కారణాంకాలు (Factors) ఉంటాయి (ఒకటి '1', రెండోది ఆ సంఖ్య స్వయంగా).

ఉదాహరణలు:

• 2: దీని కారణాంకాలు 1 మరియు 2 మాత్రమే. (ఇది 1 మరియు 2 ఎక్కంలో మాత్రమే వస్తుంది).
• 3: దీని కారణాంకాలు 1 మరియు 3 మాత్రమే.
• 5, 7, 11, 13, 17, 19 మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలకు ఉదాహరణలు.

TET పరీక్ష కోణంలో గుర్తుంచుకోవాల్సిన ముఖ్యమైన బిట్స్:

• అతి చిన్న మరియు ఏకైక సరి ప్రధాన సంఖ్య '2' మాత్రమే. (మిగిలిన అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు బేసి సంఖ్యలే).
• 1 నుండి 100 వరకు మొత్తం 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి.
• 1 నుండి 50 వరకు మొత్తం 15 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి.
• 51 నుండి 100 వరకు మొత్తం 10 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి.
• 1 అనేది ప్రధాన సంఖ్య కాదు, సంయుక్త సంఖ్య కూడా కాదు (Neither prime nor composite).

తప్పకుండా! TET పరీక్షలో తరచుగా అడిగే సంయుక్త సంఖ్యలు, సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు (సహ-ప్రధాన సంఖ్యలు) మరియు ఈ టాపిక్ నుంచి ప్రాక్టీస్ కోసం కొన్ని ముఖ్యమైన బిట్స్ క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

3. సంయుక్త సంఖ్యలు (Composite Numbers)

నిర్వచనం: ఒక సంఖ్యకు 2 కంటే ఎక్కువ కారణాంకాలు (Factors) ఉంటే వాటిని సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు. అనగా, ఇవి 1 చేత, అదే సంఖ్య చేత కాకుండా వేరే ఇతర సంఖ్యల చేత కూడా నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి.

ఉదాహరణలు:

• 4: దీని కారణాంకాలు 1, 2, 4 (ఇక్కడ 3 కారణాంకాలు ఉన్నాయి, కాబట్టి ఇది సంయుక్త సంఖ్య).
• 6: దీని కారణాంకాలు 1, 2, 3, 6 (4 కారణాంకాలు ఉన్నాయి).
• 8, 9, 10, 12, 14, 15 మొదలైనవి.

ముఖ్యమైన పాయింట్స్:

• అతి చిన్న సంయుక్త సంఖ్య '4'.
• సరి సంయుక్త సంఖ్యలలో అతి చిన్నది '4' కాగా, బేసి సంయుక్త సంఖ్యలలో అతి చిన్నది '9'.

4. సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు / సహ-ప్రధాన సంఖ్యలు (Co-prime Numbers / Relative Primes)

నిర్వచనం: ఏవైనా రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క గరిష్ట సామాన్య భాకం (GCD / HCF) '1' అయితే, ఆ సంఖ్యలను సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు. (అనగా, ఆ సంఖ్యల మధ్య '1' తప్ప వేరే ఉమ్మడి కారణాంకం ఉండకూడదు).

ఉదాహరణలు:

• (2, 3): 2 యొక్క కారణాంకాలు (1, 2), 3 యొక్క కారణాంకాలు (1, 3). వీటిలో ఉమ్మడి కారణాంకం '1' మాత్రమే. కాబట్టి ఇవి సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు.
• (4, 9): విడివిడిగా చూస్తే ఇవి సంయుక్త సంఖ్యలే, కానీ వీటి ఉమ్మడి కారణాంకం కేవలం '1' మాత్రమే కాబట్టి ఇవి సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు అవుతాయి.
• (8, 15), (7, 9) కూడా ఇందుకు ఉదాహరణలే.

TET ప్రాక్టీస్ బిట్స్ (Practice Bits)

1. మొదటి ఐదు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
   • జవాబు: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
2. క్రింది వాటిలో సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యల జంట కానిది ఏది?
   • a) (2, 3) b) (5, 7) c) (4, 6) d) (9, 16)
   • జవాబు: c) (4, 6) (ఎందుకంటే వీటికి 1 కాకుండా '2' కూడా ఉమ్మడి కారణాంకం అవుతుంది).
3. 1 నుండి 50 మధ్యలో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య ఎంత?
   • జవాబు: 15
4. రెండు వరుస సరి సంఖ్యల యొక్క HCF (గసాభా) ఎంత ఉంటుంది?
   • జవాబు: ఎల్లప్పుడూ '2' ఉంటుంది. (ఉదా: 4 మరియు 6 ల గసాభా 2).

TET పరీక్షలో తరచుగా అడిగే కొన్ని ముఖ్యమైన మరియు కాన్సెప్చువల్ ప్రశ్నలను, వాటి స్టెప్-బై-స్టెప్ వివరణలతో సహా క్రింద ఇస్తున్నాను:

ప్రశ్న 1:

క్రింది వాటిలో ప్రధాన సంఖ్య ఏది? a) 51 b) 63 c) 97 d) 91

• వివరణ (Explanation):
  • 51: ఇది 3 చేత నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది (3 × 17 = 51). కాబట్టి ఇది సంయుక్త సంఖ్య.
  • 63: ఇది 9 మరియు 7 ఎక్కంలో వస్తుంది (9 × 7 = 63). కాబట్టి ఇది సంయుక్త సంఖ్య.
  • 91: ఇది 7 మరియు 13 ఎక్కంలో వస్తుంది (7 × 13 = 91). కాబట్టి ఇది సంయుక్త సంఖ్య.
  • 97: దీనికి 1 మరియు 97 తప్ప వేరే కారణాంకాలు లేవు. కాబట్టి ఇది ప్రధాన సంఖ్య.
• సరైన సమాధానం: c) 97

ప్రశ్న 2:

A = {x : x అనేది 50 లోపు ఉన్న ప్రధాన సంఖ్య} అయితే, ఆ సమితి యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య n(A) ఎంత?

• వివరణ (Explanation):
  • ఈ ప్రశ్నలో సమితి A లో 50 లోపు ఉన్న అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయని చెప్పారు.
  • 1 నుండి 50 వరకు మొత్తం 15 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి (అవి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47).
  • సమితిలోని మొత్తం మూలకాల సంఖ్యనే దాని కార్డినల్ సంఖ్య అంటారు. కాబట్టి ఈ సమితిలో 15 మూలకాలు ఉంటాయి.
• సరైన సమాధానం: n(A) = 15

ప్రశ్న 3:

క్రింది జంటలలో 'సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు' (Co-prime / Relative Prime Numbers) ఏవి? a) (14, 35) b) (18, 25) c) (12, 18) d) (15, 20)

• వివరణ (Explanation):
  • సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు కావాలంటే ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య గరిష్ట సామాన్య భాకం (HCF) '1' అయి ఉండాలి (అనగా 1 తప్ప వేరే ఉమ్మడి కారణాంకం ఉండకూడదు).
  • a) (14, 35) లలో '7' ఉమ్మడి కారణాంకం (7 × 2 = 14, 7 × 5 = 35). కాబట్టి ఇవి కావు.
  • b) (18, 25) లలో 18 కారణాంకాలు (1, 2, 3, 6, 9, 18), 25 కారణాంకాలు (1, 5, 25). వీటిలో ఉమ్మడి కారణాంకం కేవలం '1' మాత్రమే.
  • c) (12, 18) లలో 2, 3, 6 లు ఉమ్మడి కారణాంకాలుగా ఉన్నాయి.
  • d) (15, 20) లలో '5' ఉమ్మడి కారణాంకం.
• సరైన సమాధానం: b) (18, 25)