TET Maths సంఖ్య ధర్మాలు

టెట్ (TET) పరీక్షా దృష్ట్యా గణితంలో అత్యంత కీలకమైన "సంఖ్య ధర్మాలు మరియు సంఖ్య వ్యవస్థ" (Properties of Numbers)కి సంబంధించిన ముఖ్యమైన నోట్స్ క్రింద ఇవ్వబడింది:

1. సంఖ్యల ప్రాథమిక బీజీయ ధర్మాలు (Basic Algebraic Properties)

సంకలనం (+), గుణకారం (\times) మరియు ఇతర ప్రక్రియల కింద సంఖ్యలు పాటించే ముఖ్యమైన ధర్మాలు:

• సంవృత ధర్మం (Closure Property):

• • సంకలనం: ఏవైనా రెండు సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఒక సహజ సంఖ్య అవుతుంది (a + b . ఉదాహరణకు: 5 + 7 = 12 (సహజ సంఖ్య).
  • గుణకారం: ఏవైనా రెండు సహజ సంఖ్యల లబ్ధం ఒక సహజ సంఖ్య అవుతుంది (a × b 
  • గమనిక: సహజ సంఖ్యలలో వ్యవకలనం (-) మరియు భాగాహారం సంవృత ధర్మాన్ని పాటించవు.

• స్థిత్యంతర ధర్మం (Commutative Property):

• • సంకలనం: సంఖ్యల క్రమాన్ని మార్చి జోడించినా ఫలితం మారదు. (a + b = b + a)
    • ఉదా: 3 + 4 = 4 + 3 = 7
  • గుణకారం: a × b = b × a
    • ఉదా: 3 × 4 = 4 × 3 = 12
  • గమనిక: వ్యవకలనం మరియు భాగాహారాలు స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటించవు.

• సాహూర్య ధర్మం (Associative Property):

• • సంకలనం: (a + b) + c = a + (b + c)
  • గుణకారం: (a × b) × c = a × (b × c)

• తత్సమాంశ ధర్మం (Identity Property):

• • సంకలన తత్సమాంశం (Additive Identity): '0' (సున్నా). ఏ సంఖ్యకైనా 0 ను కలిపితే అదే సంఖ్య వస్తుంది (a + 0 = a).
  • గుణకార తత్సమాంశం (Multiplicative Identity): '1' (ఒకటి). ఏ సంఖ్యనైనా 1 చే గుణిస్తే అదే సంఖ్య వస్తుంది (a × 1 = a).

• విలోమ ధర్మం (Inverse Property):

• • సంకలన విలోమం (Additive Inverse): ఒక సంఖ్యకు ఏ సంఖ్యను కలిపితే సున్నా వస్తుందో దానిని ఆ సంఖ్య యొక్క సంకలన విలోమం అంటారు. a యొక్క సంకలన విలోమం -a (ఉదా: 5 యొక్క సంకలన విలోమం -5).
  • గుణకార విలోమం / వ్యుత్క్రమం (Multiplicative Inverse): ఒక సంఖ్యను దేనితో గుణిస్తే గుణకార తత్సమాంశం (1) వస్తుందో దానిని గుణకార విలోమం అంటారు. a యొక్క గుణకార విలోమం 
  • 1/a (ఉదా: 2/3 యొక్క వ్యుత్క్రమం 3/2

• విభాజక ధర్మం (Distributive Property):

• • గుణకారం, సంకలనం పై విస్తరణ చెందుతుంది: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

2. ముఖ్యమైన సంఖ్య రకాలు & వాటి ధర్మాలు

• సహజ సంఖ్యలు (\mathbb{N}): 1, 2, 3, 4, ... (అన్ని లెక్కించే సంఖ్యలు).
• పూర్ణాంకాలు (\mathbb{W}): 0, 1, 2, 3, ... (సున్నాతో ప్రారంభమయ్యే సహజ సంఖ్యలు).
• పూర్ణ సంఖ్యలు (\mathbb{Z}): రుణాత్మక సంఖ్యలు, సున్నా మరియు ధనాత్మక సంఖ్యల సమితి (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).
• ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime Numbers): 1 మరియు ఆ సంఖ్య మాత్రమే భాజకాలుగా గల సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
  • ఉదాహరణకు: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ....
  • అతి చిన్న మరియు ఏకైక సరి ప్రధాన సంఖ్య '2'.
  • 1 నుండి 100 వరకు మొత్తం 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
• సంయుక్త సంఖ్యలు (Composite Numbers): రెండు కంటే ఎక్కువ భాజకాలు గల సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు (ఉదా: 4, 6, 8, 9, 10 ...).
  • గమనిక: '1' అనేది ప్రధాన సంఖ్య కాదు, సంయుక్త సంఖ్య కూడా కాదు.
• సహ-ప్రధాన సంఖ్యలు (Co-Primes): ఏవైనా రెండు సంఖ్యల గసాభా (HCF) '1' అయితే వాటిని సహ-ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు (ఉదా: (3, 5), (8, 15)).

3. టెట్ లో తరచూ అడిగే ముఖ్యమైన భాజకతా సూత్రాలు (Divisibility Rules)

• 2 చే భాజకత్వం: ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 0, 2, 4, 6, 8 లు ఉండాలి.
• 3 చే భాజకత్వం: ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 చే నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.
• 4 చే భాజకత్వం: చివరి రెండు అంకెలు (పదులు, ఒకట్లు) ఏర్పరిచే సంఖ్య 4 చే భాగించబడాలి లేదా రెండు సున్నాలు ఉండాలి.
• 5 చే భాజకత్వం: ఒకట్ల స్థానంలో '0' లేదా '5' ఉండాలి.
• 9 చే భాజకత్వం: ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9 చే నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.
• 11 చే భాజకత్వం: సరి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తానికి, బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తానికి మధ్య భేదం '0' లేదా 11 యొక్క గుణిజం కావాలి.

4. కసాగు (LCM) మరియు గసాభా (HCF) సంబంధాలు

• ఏవైనా రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ సంఖ్యల (LCM} × {HCF}) కు సమానం.
• రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = LCM × HCF
• భిన్నాల కసాగు (\text{LCM}): 
• లవాల కసాగు (LCM of Numerators)}/{హారాల గసాభా (HCF of Denominators)}
• భిన్నాల గసాభా (\text{HCF}): 
• లవాల గసాభా (HCF of Numerators)} /హారాల కసాగు (LCM of Denominators)}