పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers - {Z})
అంటే ధన సంఖ్యలు (1, 2, 3, ...), ఋణ సంఖ్యలు (-1, -2, -3, ....) మరియు సున్నా (0) ల సమూహం.
పూర్ణ సంఖ్యల యొక్క ముఖ్యమైన ధర్మాలు
(Properties of Integers) మరియు వాటి ఉదాహరణలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:
1. సంవృత ధర్మం (Closure Property)
రెండు పూర్ణ సంఖ్యలను కూడినా లేదా గుణించినా వచ్చే ఫలితం కూడా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
* సంకలనం (వ్యూకలనం) లో: a, b €{Z} => a + b €{Z}
* ఉదాహరణ: 5 + (-3) = 2 (2 అనేది పూర్ణ సంఖ్య)
* ఉదాహరణ: -4 - 6 = -10 (-10 అనేది పూర్ణ సంఖ్య)
* గుణకారంలో:
a, b €{Z} => a × b €{Z}
* ఉదాహరణ: (-4) \times 3 = -12 (-12 అనేది పూర్ణ సంఖ్య)
2. స్థిత్యంతర ధర్మం (Commutative Property)
పూర్ణ సంఖ్యల వరుస క్రమాన్ని మార్చి కూడినా లేదా గుణించినా ఫలితంలో మార్పు ఉండదు.
* సంకలనంలో: a + b = b + a
* ఉదాహరణ: 7 + (-2) = 5 మరియు (-2) + 7 = 5
* గుణకారంలో: a × b = b × a
* ఉదాహరణ: (-3) × 4 = -12 మరియు 4 × (-3) = -12
(గమనిక: భాగాహారం, వ్యూకలనాలలో స్థిత్యంతర ధర్మం వర్తించదు).
3. సహచర ధర్మం (Associative Property)
మూడు పూర్ణ సంఖ్యలను ఏ వరుసలో సమూహపరిచి (grouping) కూడినా లేదా గుణించినా ఒకే ఫలితం వస్తుంది.
* సంకలనంలో: (a + b) + c = a + (b + c)
* ఉదాహరణ: [2 + (-3)] + 4 = -1 + 4 = 3
* * గుణకారంలో: (a × b) × c = a × (b × c)
* ఉదాహరణ: [(-2) × 3] \times (-4) = (-6) × (-4) = 24
* 4. తత్సమాంశ ధర్మం (Identity Property)
* సంకలన తత్సమాంశం (Additive Identity): ఏ పూర్ణ సంఖ్యకైనా 0 ని కూడితే తిరిగి అదే సంఖ్య వస్తుంది. కాబట్టి '0' ని సంకలన తత్సమాంశం అంటారు.
* * ఉదాహరణ: -8 + 0 = -8
* గుణకార తత్సమాంశం (Multiplicative Identity): ఏ పూర్ణ సంఖ్యనైనా 1 తో గుణిస్తే తిరిగి అదే సంఖ్య వస్తుంది. కాబట్టి '1' ని గుణకార తత్సమాంశం అంటారు.
* * ఉదాహరణ: -5 × 1 = -5
5. విలోమ ధర్మం (Inverse Property)
* సంకలన విలోమం (Additive Inverse): ఒక పూర్ణ సంఖ్య a కి దాని సంకలన విలోమం -a అవుతుంది. వీటి మొత్తం 0 అవుతుంది.
* * ఉదాహరణ: 6 యొక్క సంకలన విలోమం -6 \implies 6 + (-6) = 0
* ఉదాహరణ: -9 యొక్క సంకలన విలోమం +9 \implies -9 + 9 = 0
6. విభాగ ధర్మం (Distributive Property)
గుణకారం సంకలనం/వ్యూకలనం పై విభాగం చెందుతుంది.
* సంకలనంపై గుణకార విభాగ ధర్మం: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
* ఉదాహరణ: 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
* విభాగ రూపం: (3 \times 4) + (3 \times 5) = 12 + 15 = 27
7. సున్నాతో గుణకారం (Property of Zero)
ఏ పూర్ణ సంఖ్యనైనా 0 తో గుణిస్తే ఫలితం 0 మాత్రమే అవుతుంది.
* * ఉదాహరణ: -15 × 0 = 0
Properties of Integers
What are Integers?
Integers ({Z}) are a collection of whole numbers, including positive numbers (1, 2, 3, ...), negative numbers (-1, -2, -3, ...), and zero (0).
1. Closure Property
The sum, difference, or product of any two integers is always an integer.
* Under Addition & Subtraction: a, b €{Z} => a + b €{Z}
* Example: 5 + (-3) = 2 (2 is an integer)
* Example: -4 - 6 = -10 (-10 is an integer)
* Under Multiplication: a × b €{Z}
* Example: (-4) × 3 = -12 (-12 is an integer)
2. Commutative Property
Changing the order of two integers during addition or multiplication does not change the result.
* Addition: a + b = b + a
* Example: 7 + (-2) = 5 and (-2) + 7 = 5
* Multiplication: a × b = b × a
* Example: (-3) × 4 = -12 and 4 × (-3) = -12
> Note: Subtraction and division are not commutative (a - b \neq b - a).
3. Associative Property
When adding or multiplying three integers, the grouping of numbers does not affect the final outcome.
* Addition: (a + b) + c = a + (b + c)
* Example: [2 + (-3)] + 4 = -1 + 4 = 3
* * Multiplication: (a × b) × c = a × (b × c)
* Example: [(-2) × 3] × (-4) = (-6) × (-4) = 24
* 4. Identity Property
* Additive Identity (0): Adding 0 to any integer leaves it unchanged.
* * Example: -8 + 0 = -8
* Multiplicative Identity (1): Multiplying any integer by 1 leaves it unchanged.
* * Example: -5 ×1 = -5
5. Inverse Property
* Additive Inverse: The additive inverse of an integer a is its opposite -a. Their sum is always 0.
* * Example: The additive inverse of 6 is -6 \implies 6 + (-6) = 0
* Example: The additive inverse of -9 is +9 \implies -9 + 9 = 0
6. Distributive Property
Multiplication distributes over addition and subtraction.
* Over Addition: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
* Example: 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
* Expanded form: (3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
* Over Subtraction: a × (b - c) = (a × b) - (a × c)
* Example: 5 × (8 - 2) = 5 × 6 = 30
* Expanded form: (5 × 8) - (5 × 2) = 40 - 10 = 30
7. Multiplication by Zero
Multiplying any integer by zero always yields zero.
* * Example: -15 × 0 = 0
Please give your comments....!!!