టెట్ గణితం దత్తాంశ నిర్వహణ (Data Handling) మరియు సంభావ్యత (Probability)

దత్తాంశ నిర్వహణ (Data Handling) మరియు సంభావ్యత (Probability) అంశాలకు సంబంధించి టెట్ (TET Paper 1 & 2) పరీక్షల కోసం సమగ్ర నోట్స్:

1. దత్తాంశ సేకరణ మరియు వర్గీకరణ (Collection & Classification of Data)

• దత్తాంశం (Data): ఒక నిర్దిష్ట ప్రయోజనం కోసం సేకరించిన సంఖ్యాత్మక లేదా గుణాత్మక సమాచారం.
• ప్రాథమిక దత్తాంశం (Primary Data): పరిశోధకుడు స్వయంగా ప్రత్యక్షంగా సేకరించిన తాజా సమాచారం (ఉదా: తరగతిలో విద్యార్థుల ఎత్తులు కొలవడం).
• గౌణ దత్తాంశం (Secondary Data): గతంలో ఇతరులు సేకరించి భద్రపరిచిన మూలాల నుండి తీసుకున్న సమాచారం (ఉదా: ప్రభుత్వ జనాభా లెక్కల నివేదిక).
• ముడి దత్తాంశం (Raw Data): సేకరించిన సమాచారాన్ని ఎటువంటి క్రమపద్ధతి లేకుండా ఉంచడం.
• వ్యాప్తి (Range): దత్తాంశంలోని గరిష్ట విలువ మరియు కనిష్ట విలువల మధ్య తేడా. \text{వ్యాప్తి (Range)} = \text{గరిష్ట విలువ} - \text{కనిష్ట విలువ}

2. పౌనఃపున్య విభాజనం & గణన చిహ్నాలు (Frequency & Tally Marks)

• పౌనఃపున్యం (Frequency - f): ఒక రాశి లేదా పరిశీలన దత్తాంశంలో ఎన్నిసార్లు పునరావృతమైందో తెలిపే సంఖ్య.
• గణన చిహ్నాలు (Tally Marks): సంఖ్యలను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే నిలువు గీతలు. ప్రతి 5వ సంఖ్యను క్రాస్ గీతతో సూచిస్తారు (\vert{}\vert{}\vert{}\vert{} ఆపై ఐదవది \cancel{\vert{}\vert{}\vert{}\vert{}}).
• తరగతి అంతరం (Class Interval): ముడి దత్తాంశాన్ని గ్రూపులుగా విభజించినప్పుడు ఏర్పడే గ్రూపులు (ఉదా: 10-20, 20-30).
• తరగతి అవధులు (Class Limits) & హద్దులు (Class Boundaries):
  • మినహాయింపు తరగతులు (Exclusive Classes): 0-10, 10-20, 20-30 \dots (ఇక్కడ అవధులు మరియు హద్దులు సమానం).
  • సమ్మిళిత తరగతులు (Inclusive Classes): 1-10, 11-20, 21-30 \dots (దిగువ హద్దు = \text{దిగువ అవధి} - 0.5, ఎగువ హద్దు = \text{ఎగువ అవధి} + 0.5).
• తరగతి మధ్య విలువ (Mid-value / x_i): x_i = \frac{\text{దిగువ అవధి} + \text{ఎగువ అవధి}}{2}
• తరగతి పొడవు (Class Size / Length - h): ఎగువ హద్దు - దిగువ హద్దు.

3. దత్తాంశ ప్రాతినిధ్య రేఖాచిత్రాలు (Graphical Representation)

రేఖాచిత్ర రకం	ముఖ్య లక్షణాలు	పరీక్షా ముఖ్యాంశాలు
చిత్ర లేఖనం (Pictograph)	వస్తువుల చిత్రాలు లేదా చిహ్నాల ద్వారా దత్తాంశాన్ని చూపడం.	స్కేల్ (Scale) ముఖ్యం (ఉదా: 1 \text{ బొమ్మ} = 100 \text{ కార్లు}).
కమ్మీ రేఖాచిత్రం (Bar Graph)	సమాన వెడల్పు, సమాన దూరాలు కలిగిన నిలువు లేదా అడ్డ దీర్ఘచతురస్ర కమ్మీలు.	ఇది ఏకమితీయ (1D) చిత్రం; పొడవు మాత్రమే విలువను సూచిస్తుంది.
వృత్త లేఖనం (Pie Chart)	వృత్తాన్ని సెక్టార్లుగా విభజించి సమాచారాన్ని చూపడం.	కేంద్ర కోణం సూత్రం: \theta = \frac{\text{రాశి విలువ}}{\text{మొత్తం విలువ}} \times 360^\circ

4. కేంద్రీయ ప్రవృత్తి మాపనాలు (Measures of Central Tendency)

అంకమధ్యమం / సగటు (Arithmetic Mean - \bar{x}):

• అవర్గీకృత దత్తాంశం: \bar{x} = \frac{\text{రాశుల మొత్తం}}{\text{రాశుల సంఖ్య}} = \frac{\sum x_i}{n}
• వర్గీకృత దత్తాంశం:
  • ప్రత్యక్ష పద్ధతి: \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
  • విచలన పద్ధతి: \bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} (ఇక్కడ d_i = x_i - a)
  • సోపాన విచలన పద్ధతి: \bar{x} = a + \left( \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \right) \times h (ఇక్కడ u_i = \frac{x_i - a}{h})

మధ్యగతం (Median - M): దత్తాంశాన్ని ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చినప్పుడు మధ్యలో ఉండే విలువ.

• అవర్గీకృత దత్తాంశం:
  • n బేసి సంఖ్య అయితే: $\left(\frac{n+1}{2}\right)$వ పదం.
  • n సరి సంఖ్య అయితే: $\frac{n}{2}$వ మరియు $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$వ పదాల సగటు.
• వర్గీకృత దత్తాంశం: M = L + \left[ \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \right] \times h (ఇక్కడ L = మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు, cf = ముందు తరగతి సంచిత పౌనఃపున్యం, f = మధ్యగత తరగతి పౌనఃపున్యం, h = తరగతి పొడవు).

బాహుళకం (Mode - Z): దత్తాంశంలో గరిష్టంగా పునరావృతమయ్యే రాశి.

• అవర్గీకృత దత్తాంశం: ఎక్కువసార్లు వచ్చిన సంఖ్య (ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉండవచ్చు లేదా అసలు ఉండకపోవచ్చు).
• వర్గీకృత దత్తాంశం: Z = L + \left[ \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right] \times h (ఇక్కడ f_1 = బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యం, f_0 = ముందు తరగతి పౌనఃపున్యం, f_2 = తరువాతి తరగతి పౌనఃపున్యం).

కీలక సంబంధం (Empirical Formula):

\text{బాహుళకం} = 3(\text{మధ్యగతం}) - 2(\text{సగటు}) \quad \implies \quad \text{Mode} = 3\text{Median} - 2\text{Mean}

5. సంచిత పౌనఃపున్య పట్టిక & ఓజీవ్ వక్రాలు (Cumulative Frequency & Ogives)

• ఆరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం (Less than Cumulative Frequency): పై నుండి కిందికి పౌనఃపున్యాలను కూడుకుంటూ రావడం. దీనిని ఎగువ హద్దులను ఆధారంగా తీసుకుని గీస్తారు.
• అవరోహణ సంచిత పౌనఃపున్యం (Greater than Cumulative Frequency): కింది నుండి పైకి పౌనఃపున్యాలను కూడుకుంటూ రావడం. దీనిని దిగువ హద్దులను ఆధారంగా తీసుకుని గీస్తారు.
• ఓజీవ్ వక్రాలు (Ogive Curves): సంచిత పౌనఃపున్య వక్రాలు.
• ఆరోహణ ఓజీవ్ మరియు అవరోహణ ఓజీవ్ వక్రాలు పరస్పరం ఖండించుకునే బిందువు యొక్క X-నిరూపకం (X-coordinate) నేరుగా మధ్యగతం (Median) ను తెలియజేస్తుంది.

6. సంభావ్యత (Probability)

• యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం (Random Experiment): అన్ని ఫలితాలు ముందే తెలిసినప్పటికీ, కచ్చితంగా ఏ ఫలితం వస్తుందో చెప్పలేని ప్రయోగం.
• శాంపిల్ ఆవరణ (Sample Space - S): ప్రయోగంలోని అన్ని సాధ్యమయ్యే పర్యవసానాల సమితి.
• సంభావ్యత ప్రాథమిక సూత్రం: P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{\text{ఘటన } E \text{ కి అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య}}{\text{మొత్తం సాధ్యపడే పర్యవసానాల సంఖ్య}}

ముఖ్య ధర్మాలు:

• ఏ ఘటన సంభావ్యత అయినా 0 \le P(E) \le 1 మధ్యనే ఉంటుంది.
• ఖచ్చిత ఘటన (Sure Event): P(E) = 1
• అసాధ్య ఘటన (Impossible Event): P(E) = 0
• ప్రాథమిక ఘటనల మొత్తం సంభావ్యత = 1.

పూరక ఘటనలు (Complementary Events):

• ఒక ఘటన E జరగకపోవడాన్ని E యొక్క పూరక ఘటన (\bar{E} లేదా E') అంటారు. P(E) + P(\bar{E}) = 1 \quad \implies \quad P(\bar{E}) = 1 - P(E)

7. నిత్యజీవిత అనువర్తనాలు - ప్రామాణిక ఫలితాలు

• నాణెం (Coins):
  • 1 నాణెం ఎగురవేసినప్పుడు: S = \{H, T\} \implies n(S) = 2^1 = 2
  • 2 నాణేలు: S = \{HH, HT, TH, TT\} \implies n(S) = 2^2 = 4
  • n నాణేలు ఎగురవేసినప్పుడు: n(S) = 2^n
• పాచిక (Dice):
  • ఒక పాచిక: S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6^1 = 6
  • రెండు పాచికలు దొర్లించినప్పుడు: n(S) = 6^2 = 36 (ముఖాలపై మొత్తం 7 రావడానికి సంభావ్యత = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}).
• పేకాట ముక్కలు (Pack of 52 Playing Cards):
  • మొత్తం ముక్కలు = 52
  • నలుపు రంగు ముక్కలు = 26 (స్పేడ్స్ 13, కళావరు 13)
  • ఎరుపు రంగు ముక్కలు = 26 (ఆటీన్ 13, డైమండ్ 13)
  • ముఖ కార్డులు (Face Cards: King, Queen, Jack) = 12 (ఒక్కో సెట్‌లో 3)
  • ఏస్ (Ace) కార్డులు = 4

  
  

కింది వర్గీకృత దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం (Mean), మధ్యగతం (Median) మరియు బాహుళకం (Mode) లను స్టెప్-బై-స్టెప్ పద్ధతిలో కనుగొందాం.

ఉదాహరణ దత్తాంశం:

తరగతి అంతరం (CI)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
పౌనఃపున్యం (f_i)	3	7	10	6	4

1. అంకమధ్యమం / సగటు (Mean - \bar{x}) గణన (ప్రత్యక్ష పద్ధతి)

సూత్రం:

\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}

• తరగతి మధ్య విలువ (x_i): \frac{\text{దిగువ అవధి} + \text{ఎగువ అవధి}}{2}

గణన పట్టిక:

తరగతి అంతరం (CI)	పౌనఃపున్యం (f_i)	మధ్య విలువ (x_i)	f_i \times x_i
0-10	3	\frac{0+10}{2} = 5	3 \times 5 = 15
10-20	7	\frac{10+20}{2} = 15	7 \times 15 = 105
20-30	10	\frac{20+30}{2} = 25	10 \times 25 = 250
30-40	6	\frac{30+40}{2} = 35	6 \times 35 = 210
40-50	4	\frac{40+50}{2} = 45	4 \times 45 = 180
మొత్తం	\sum f_i = 30	—	\sum f_i x_i = 760

సాధన:

\bar{x} = \frac{760}{30} = \frac{76}{3} \approx 25.33 \therefore \text{సగటు (Mean)} = 25.33

2. మధ్యగతం (Median - M) గణన

సూత్రం:

M = L + \left[ \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right] \times h

సంచిత పౌనఃపున్య పట్టిక (Less-than Cumulative Frequency):

తరగతి అంతరం (CI)	పౌనఃపున్యం (f)	సంచిత పౌనఃపున్యం (cf)
0-10	3	3
10-20	7	3 + 7 = 10
20-30 (మధ్యగత తరగతి)	10	10 + 10 = 20
30-40	6	20 + 6 = 26
40-50	4	26 + 4 = 30
మొత్తం	N = 30	—

సోపానాలు:

1. \frac{N}{2} = \frac{30}{2} = 15.
2. 15 విలువ చేరే సంచిత పౌనఃపున్యం 20. కాబట్టి మధ్యగత తరగతి = 20-30.
3. విలువల గుర్తింపు:
   • L (మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు) = 20
   • \frac{N}{2} = 15
   • cf (ముందు తరగతి సంచిత పౌనఃపున్యం) = 10
   • f (మధ్యగత తరగతి పౌనఃపున్యం) = 10
   • h (తరగతి పొడవు) = 10

సాధన:

M = 20 + \left[ \frac{15 - 10}{10} \right] \times 10 M = 20 + \left[ \frac{5}{10} \right] \times 10 M = 20 + 5 = 25 \therefore \text{మధ్యగతం (Median)} = 25

3. బాహుళకం (Mode - Z) గణన

సూత్రం:

Z = L + \left[ \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right] \times h

సోపానాలు:

1. గరిష్ట పౌనఃపున్యం 10 (ఇది 20-30 తరగతికి చెందినది). కాబట్టి బాహుళక తరగతి = 20-30.
2. విలువల గుర్తింపు:
   • L (బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు) = 20
   • f_1 (బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యం) = 10
   • f_0 (బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి పౌనఃపున్యం) = 7
   • f_2 (బాహుళక తరగతి తర్వాతి తరగతి పౌనఃపున్యం) = 6
   • h (తరగతి పొడవు) = 10

సాధన:

Z = 20 + \left[ \frac{10 - 7}{2(10) - 7 - 6} \right] \times 10 Z = 20 + \left[ \frac{3}{20 - 13} \right] \times 10 Z = 20 + \left[ \frac{3}{7} \right] \times 10 Z = 20 + \frac{30}{7} \approx 20 + 4.29 = 24.29 \therefore \text{బాహుళకం (Mode)} = 24.29

ఫలితాల సరిచూత (Empirical Relation Check)

Practice Test 

https://guruvu.co.in/tet/data_handling.php

\text{Mode} \approx 3(\text{Median}) - 2(\text{Mean})

• ఎడమ వైపు (Mode) = 24.29
• కుడి వైపు = 3(25) - 2(25.33) = 75 - 50.66 = 24.34

రెండు విలువలు దాదాపు సమానంగా సరిపోతాయి.