TET Maths Paper 1 & 2 సంఖ్యల రకాలు (Types of Numbers)

TET (Teacher Eligibility Test) పరీక్షల కోణంలో గణిత శాస్త్రంలోని "సంఖ్యల రకాలు" (Types of Numbers) పై సమగ్రమైన మరియు వివరమైన నోట్స్ క్రింద ఇవ్వబడింది:

​సంఖ్యల రకాలు (Types of Numbers)

​గణిత శాస్త్రంలో సంఖ్యలను వాటి లక్షణాల ఆధారంగా వివిధ రకాలుగా వర్గీకరించారు.

​1. సహజ సంఖ్యలు (Natural Numbers - N)

• ​నిర్వచనం: లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని 'N' చే సూచిస్తారు.
• ​సమితి: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
• ​ముఖ్యమైన అంశాలు:
  • ​అత్యంత చిన్న సహజ సంఖ్య 1.
  • ​అతి పెద్ద సహజ సంఖ్యను అనంతం (\infty) అంటారు (నిశ్చయంగా చెప్పలేము).
  • ​అన్ని సహజ సంఖ్యలు ధనాత్మక సంఖ్యలే.

​2. పూర్ణాంకాలు (Whole Numbers - W)

• ​నిర్వచనం: సహజ సంఖ్యలకు 'సున్నా (0)' ను కలిపితే వచ్చే సంఖ్యల సమితిని పూర్ణాంకాలు అంటారు. వీటిని 'W' చే సూచిస్తారు.
• ​సమితి: W = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• ​ముఖ్యమైన అంశాలు:
  • ​అత్యంత చిన్న పూర్ణాంకం 0.
  • ​ప్రతీ సహజ సంఖ్య ఒక పూర్ణాంకం అవుతుంది, కానీ ప్రతీ పూర్ణాంకం సహజ సంఖ్య కాదు (ఉదాహరణకు: 0).

​

3. పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers - Z లేదా I)

• ​నిర్వచనం: పూర్ణాంకాలు మరియు రుణాత్మక సహజ సంఖ్యల కలయికను పూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని 'Z' (జర్మన్ పదం 'Zahlen' నుండి) లేదా 'I' తో సూచిస్తారు.
• ​సమితి: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
• ​ముఖ్యమైన అంశాలు:
  • ​ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యలు: \{1, 2, 3, ...\}
  • ​రుణాత్మక పూర్ణ సంఖ్యలు: \{-1, -2, -3, ...\}
  • ​సున్నా (0) అనేది ధనాత్మకం కాదు, రుణాత్మకం కాదు (ఇది తటస్థ సంఖ్య).

​4. సరి సంఖ్యలు (Even Numbers)

• ​నిర్వచనం: 2 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడే సంఖ్యలను సరి సంఖ్యలు అంటారు. (సాధారణ రూపం: 2n, ఇక్కడ n ఒక పూర్ణ సంఖ్య).
• ​ఉదాహరణలు: {..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...}
• ​ముఖ్యమైన అంశాలు:
  • ​0 ను కూడా సరి సంఖ్యగానే పరిగణిస్తారు.

​5. బేసి సంఖ్యలు (Odd Numbers)

• ​నిర్వచనం: 2 చే నిశ్శేషంగా భాగింపబడని సంఖ్యలను బేసి సంఖ్యలు అంటారు. (సాధారణ రూపం: 2n - 1 లేదా 2n + 1).
• ​ఉదాహరణలు: {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}

​6. ప్రధాన సంఖ్యలు (Prime Numbers)

• ​నిర్వచనం: 1 మరియు ఆ సంఖ్య మాత్రమే కారకాలుగా గల సంఖ్యలను (అంటే 1 చేత మరియు అదే సంఖ్య చేత మాత్రమే నిశ్శేషంగా భాగింపబడే సంఖ్యలు) ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
• ​ఉదాహరణలు: \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...\}
• ​ముఖ్యమైన TET బిట్స్:
  • ​2 అనేది ఒకే ఒక సరి ప్రధాన సంఖ్య. మిగిలిన అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు బేసి సంఖ్యలే.
  • ​1 అనేది ప్రధాన సంఖ్య కాదు, సంయుక్త సంఖ్య కూడా కాదు.
  • ​1 నుండి 50 వరకు 15 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి.
  • ​1 నుండి 100 వరకు మొత్తం 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి.
  • ​50 నుండి 100 వరకు 10 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి.

​7. సంయుక్త సంఖ్యలు (Composite Numbers)

• ​నిర్వచనం: రెండు కంటే ఎక్కువ కారకాలు గల సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు. (ప్రధాన సంఖ్యలు కాని ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్యలన్నీ సంయుక్త సంఖ్యలే; కాకపోతే 1 దీనికి మినహాయింపు).
• ​ఉదాహరణలు: {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...}
• ​ముఖ్యమైన అంశాలు:
  • ​అత్యంత చిన్న సంయుక్త సంఖ్య 4.
  • ​అత్యంత చిన్న బేసి సంయుక్త సంఖ్య 9.

​8. సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు / పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (Co-prime / Relative Prime Numbers)

• ​నిర్వచనం: ఏ రెండు సంఖ్యల గరిష్ట సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా / HCF) 1 అవుతుందో ఆ సంఖ్యలను పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
• ​ముఖ్యమైన పాయింట్లు:
  • ​ఈ సంఖ్యలు విడివిడిగా ప్రధాన సంఖ్యలు కావాల్సిన అవసరం లేదు.
  • ​ఉదాహరణకు: (4, 9) - ఇక్కడ 4, 9 లు విడివిడిగా సంయుక్త సంఖ్యలే అయినప్పటికీ, వీటికి 1 తప్ప వేరే సాధారణ కారకం లేదు కాబట్టి ఇవి పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు.

​

9. కవల ప్రధాన సంఖ్యలు (Twin Prime Numbers)

• ​నిర్వచనం: ఏ రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య భేదం 2 ఉంటుందో వాటిని కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.
• ​ఉదాహరణలు:
  • ​(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73)

​10. అకరణీయ సంఖ్యలు (Rational Numbers - Q)

• ​నిర్వచనం: p/q రూపంలో వ్యక్తపరచగలిగే సంఖ్యలను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. ఇక్కడ p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q \neq 0.
• ​ఉదాహరణలు: 3/4, 5/7, 0, 5, 22/7 మొదలైనవి.
• ​గుర్తుంచుకోవాల్సినవి: అన్ని సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు అకరణీయ సంఖ్యలే. దశాంశ రూపంలో ఇవి అంతం అయ్యేవి (Terminating) లేదా అంతం కాని ఆవృత్త దశాంశాలు (Non-terminating repeating decimals) అయి ఉంటాయి.

​

11. కరణీయ సంఖ్యలు (Irrational Numbers)

• ​నిర్వచనం: p/q రూపంలో వ్యక్తపరచలేని వాస్తవ సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు.
• ​ఉదాహరణలు: √2, √3, √5, \pi, e మొదలైనవి.
• ​ముఖ్యమైన బిట్: \pi (పై) అనేది కరణీయ సంఖ్య, కానీ దీని లెక్కల కొరకు వాడే సుమారు విలువ 22/7 అనేది అకరణీయ సంఖ్య.

​12. వాస్తవ సంఖ్యలు (Real Numbers - R)

• ​నిర్వచనం: అకరణీయ మరియు కరణీయ సంఖ్యల సమితిని కలిపి వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు. సంఖ్యా రేఖపై చూపగలిగే ప్రతీ సంఖ్య వాస్తవ సంఖ్యే.

​

13. సంపూర్ణ సంఖ్యలు (Perfect Numbers)

• ​నిర్వచనం: ఒక సంఖ్య యొక్క అన్ని సరైన కారకాల (ఆ సంఖ్య కాకుండా మిగిలిన భాజకాలు) మొత్తం ఆ సంఖ్యకు సమానమైతే దానిని సంపూర్ణ సంఖ్య అంటారు.
• ​ఉదాహరణ: 6
  • ​6 యొక్క కారకాలు: 1, 2, 3, 6.
  • ​సరైన కారకాలు: 1, 2, 3.
  • ​కారకాల మొత్తం: 1 + 2 + 3 = 6.
• ​మరొక ఉదాహరణ: 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).

​ఈ నోట్స్ TET పేపర్-1 (SGT) మరియు పేపర్-2 (School Assistant Mathematics) పరీక్షల్లో సంఖ్యల వ్యవస్థ (Number System) పై వచ్చే ప్రశ్నలను సులభంగా పరిష్కరించడానికి సహాయపడుతుంది.