వృత్తం (Circle) – ధర్మాలు మరియు నిర్మాణాలు

వృత్తం (Circle) – ధర్మాలు మరియు నిర్మాణాలు

1. వృత్తం అనగానేమి? (Definition)

ఒక తలంలో ఒక స్థిర బిందువు నుండి సమాన దూరంలో చలించే బిందువుల పథాన్ని వృత్తం (Circle) అంటారు.

• కేంద్రం (Center): ఆ స్థిర బిందువును కేంద్రం (O) అంటారు.
• వ్యాసార్థం (Radius - r): కేంద్రం నుండి వృత్తంపై ఉన్న ఏ బిందువుకైనా గల దూరం.

2. ముఖ్యమైన పదాలు & సూత్రాలు (Key Terms & Formulas)

• వ్యాసం (Diameter - d): వృత్త కేంద్రం గుండా పోతూ వృత్త పరిధిపై రెండు బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం. ఇది వ్యాసార్థానికి రెట్టింపు ఉంటుంది (d = 2r).
• జ్యా (Chord): వృత్త పరిధిపై గల ఏవైనా రెండు బిందువులను కలుపుతూ గీచిన రేఖాఖండం (అన్నిటికంటే పెద్ద జ్యా వ్యాసం).
• వృత్త పరిధి (Circumference): 2\pi r
• వృత్త వైశాల్యం (Area): \pi r^2 (ఇక్కడ \pi \approx \frac{22}{7} లేదా 3.14)

3. వృత్తం ముఖ్యమైన ధర్మాలు (Properties of a Circle)

1. లంబ సమద్విఖండన ధర్మం: వృత్త కేంద్రం నుండి జ్యా పైకి గీచిన లంబం ఆ జ్యాను రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది (సమద్విఖండన చేస్తుంది).
2. కేంద్ర కోణ ధర్మం: ఒకే చాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం, అదే చాపం వృత్త పరిధిపై ఏదైనా ఇతర బిందువు వద్ద చేసే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది.
3. అర్ధవృత్త కోణం: అర్ధవృత్తంలో వృత్త పరిధిపై ఏర్పడే కోణం ఎప్పుడూ లంబకోణం (90^\circ) ఉంటుంది.
4. సమాన జ్యాలు: ఒకే వృత్తంలో (లేదా సర్వసమ వృత్తాలలో) కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న జ్యాల పొడవులు సమానంగా ఉంటాయి.
5. స్పర్శరేఖ ధర్మం: వృత్త స్పర్శరేఖ, స్పర్శ బిందువు వద్ద గీచిన వ్యాసార్థానికి ఎప్పుడూ లంబంగా (90^\circ) ఉంటుంది.

4. జ్యామితీయ నిర్మాణాలు (Constructions) - ఉదాహరణలతో

నిర్మాణం 1: ఇచ్చిన వ్యాసార్థంతో వృత్తాన్ని నిర్మించడం

• ఉదాహరణ: 4 సెం.మీ. వ్యాసార్థంతో వృత్తాన్ని గీయండి.
• సోపానాలు (Steps):
  1. స్కేలు సహాయంతో కంపాస్‌పై సరిగ్గా 4 సెం.మీ. దూరాన్ని కొలవండి.
  2. కాగితంపై ఒక బిందువును కేంద్రం 'O' గా గుర్తించండి.
  3. కంపాస్ మునుగును 'O' వద్ద ఉంచి, ఒక పూర్తి వృత్తాకారంలో తిప్పితే కావలసిన 4 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల వృత్తం ఏర్పడుతుంది.

నిర్మాణం 2: వృత్తంపై ఇచ్చిన బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖను నిర్మించడం

• ఉదాహరణ: 3 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల వృత్తంపై 'P' అనే బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖను గీయండి.
• సోపానాలు (Steps):
  1. 3 సెం.మీ. వ్యాసార్థంతో కేంద్రం 'O' గా గల వృత్తాన్ని గీయండి.
  2. వృత్త పరిధిపై ఏదైనా బిందువు 'P' ను గుర్తించి, కేంద్రం 'O' నుండి 'P' కలుపుతూ వ్యాసార్థం (OP) ను గీయండి.
  3. ప్రొట్రాక్టర్ (డీ) లేదా కంపాస్ సహాయంతో బిందువు 'P' వద్ద రేఖ OP కి 90^\circ కోణం చేసే విధంగా ఒక లంబ రేఖను గీయండి.
  1. ఈ లంబరేఖే వృత్తానికి కావలసిన స్పర్శరేఖ అవుతుంది.

  
  

వృత్తం (Circles) అంశానికి సంబంధించి 10 ఒక పదం సమాధానాలు (One-word bits) క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

1. వృత్తం యొక్క మధ్యలో ఉండే స్థిర బిందువు?
   • సమాధానం: కేంద్రం
2. కేంద్రం నుండి వృత్త పరిధికి గల దూరం?
   • సమాధానం: వ్యాసార్థం
3. వృత్తంలో ఉండే అతిపెద్ద జ్యా (Chord) ఏది?
   • సమాధానం: వ్యాసం
4. వృత్తం చుట్టుకొలతను సాధారణంగా ఏమంటారు?
   • సమాధానం: పరిధి
5. అర్ధవృత్తంలో వృత్త పరిధిపై ఏర్పడే కోణం?
   • సమాధానం: లంబకోణం (90^\circ)
6. వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకే రేఖ?
   • సమాధానం: స్పర్శరేఖ
7. వృత్త కేంద్రం నుండి జ్యా పైకి గీచిన లంబం, ఆ జ్యాను చేసే ప్రక్రియ?
   • సమాధానం: సమద్విఖండన
8. ఒకే వృత్తంలో సమాన పొడవు గల జ్యాలు, కేంద్రం నుండి ఏ దూరంలో ఉంటాయి?
   • సమాధానం: సమానం
9. వృత్తంపై ఒక బాహ్య బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య?
   • సమాధానం: రెండు
10. వృత్త వైశాల్య సూత్రంలో (\pi r^2) ఉపయోగించే స్థిరాంకం?
    • సమాధానం: \pi (పై)