శ్రేడులు షార్ట్ నోట్స్

టెట్ (TET) గణితం సిలబస్ కోసం "శ్రేడులు" (Progressions) పై సమగ్ర నోట్స్:

1. అంకశ్రేడి (Arithmetic Progression - AP)

నిర్వచనం:

ఒక శ్రేడిలో ప్రతీ పదం దాని పూర్వ పధానికి ఒక స్థిర సంఖ్యను కలపడం ద్వారా ఏర్పడితే, ఆ శ్రేడిని అంకశ్రేడి అంటారు. ఆ స్థిర సంఖ్యను సామాన్యాంతరం (Common Difference - d) అంటారు.

• సాధారణ రూపం: a, a+d, a+2d, a+3d, ... ఇక్కడ:
  • a = ప్రథమ పదం (First term)
  • d = సామాన్యాంతరం (d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2)

ముఖ్యమైన సూత్రాలు:

1. n వ పదం (a_n లేదా t_n): a_n = a + (n - 1)d (ఇక్కడ n అనేది పదాల సంఖ్య)
2. చివరి పదం (l లేదా a_n) ఇచ్చినప్పుడు అంతిమ పదం కనుగొనే సూత్రం: శ్రేడిలో మొత్తం n పదాలు ఉంటే, చివరి పదం l = a + (n-1)d.
3. అంతిమ పదం (l) తెలిసినప్పుడు మొదటి n పదాల మొత్తం (S_n): S_n = {n}/{2} [2a + (n - 1)d] లేదా S_n = {n}/{2} (a + l)
4. సామాన్యాంతరం (d) కనుగొనే సూత్రం: d = a_{k+1} - a_k

ఉదాహరణలు:

• ఉదాహరణ 1: 2, 5, 8, 11, \dots అంకశ్రేడిలో 10వ పదం ఎంత?
  • సాధన: a = 2, d = 5 - 2 = 3, n = 10
  • a_{10} = a + (10 - 1)d = 2 + 9(3) = 2 + 27 = 29.
• ఉదాహరణ 2: 3, 7, 11, .... అంకశ్రేడిలో మొదటి 20 పదాల మొత్తం ఎంత?
  • సాధన: a = 3, d = 4, n = 20
  • S_{20} = \{20}/{2} [2(3) + (20 - 1)4] = 10 [6 + 19(4)] = 10 [6 + 76] = 10(82) = 820.

2. గుణశ్రేడి (Geometric Progression - GP)

నిర్వచనం:

ఒక శ్రేడిలో ప్రతీ పదం దాని పూర్వ పదాన్ని ఒక శూన్యేతర స్థిర సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా వస్తే, దానిని గుణశ్రేడి అంటారు. ఆ స్థిర సంఖ్యను సామాన్య నిష్పత్తి (Common Ratio - r) అంటారు.

• సాధారణ రూపం: a, ar, ar², ar³, ... ఇక్కడ:
  • a = ప్రథమ పదం
  • r = సామాన్య నిష్పత్తి (r = {a_2}/{a_1} = {a_3}/{a_2})

ముఖ్యమైన సూత్రాలు:

1. n వ పదం (a_n): a_n = a \c r^{n-1}
2. మొదటి n పదాల మొత్తం (S_n):
   • r > 1 అయినప్పుడు: S_n = {a(r^n - 1)}/{r - 1}
   • r < 1 అయినప్పుడు: S_n = {a(1 - r^n)}/{1 - r}
   • r = 1 అయినప్పుడు: S_n = n \cd a
3. అనంత గుణశ్రేడి మొత్తం (S_\infty): (\vert{}r\vert{} < 1 అయినప్పుడు) S_\infty = {a}/{1 - r}

ఉదాహరణ:

• 3, 6, 12, 24, \dots గుణశ్రేడిలో 6వ పదం ఎంత?
  • సాధన: a = 3, r = {6}/{3} = 2, n = 6
  • a_6 = a \cdot r^{6-1} = 3 \cdot (2)^5 = 3 \cdot 32 = 96.

3. ముఖ్యమైన మధ్యమాలు (Means)

1. అంక మధ్యమం (Arithmetic Mean - AM): a మరియు b ల అంక మధ్యమం ‘A’ అయితే: A = {a + b}/{2}
2. గుణ మధ్యమం (Geometric Mean - GM): ధనాత్మక సంఖ్యలు a మరియు b ల గుణ మధ్యమం ‘G’ అయితే: G = √{ab}
3. AM మరియు GM ల మధ్య సంబంధం: ఎల్లప్పుడూ AM \ge GM (అంటే \frac{a+b}/{2} \ge √{ab}).

4. టెట్ (TET) పరీక్ష కోణంలో గుర్తుంచుకోవాల్సిన ముఖ్యమైన షార్ట్‌కట్స్ / బిట్స్:

• మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం: \sum n = {n(n+1)}/{2} (ఇది ఒక అంకశ్రేడి).
• మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం: \sum (2n-1) = n².
• మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం: \sum 2n = n(n+1).
• ఒక అంకశ్రేడిలోని ప్రతీ ప్యదానికి ఒకే సంఖ్యను కలిపినా లేదా తీసివేసినా, వచ్చే కొత్త శ్రేడి కూడా అంకశ్రేడి అవుతుంది మరియు దాని సామాన్యాంతరం (d) మారదు.

• ఒక అంకశ్రేడిలోని ప్రతీ పదాన్ని ఒకే శూన్యేతర సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా, వచ్చే కొత్త శ్రేడి కూడా అంకశ్రేడి అవుతుంది.