TG TET Maths క్షేత్రగణితం (Mensuration) Short Notes and Practice Test

TG TET క్షేత్రగణితం (Mensuration) విభాగానికి సంబంధించిన ముఖ్యమైన సూత్రాలు మరియు కీలక అంశాల సంక్షిప్త నోట్స్:

1. ద్విమితీయ పటాలు (2D Shapes) - చుట్టుకొలత & వైశాల్యం

చతురస్రం (Square)

• భుజం: a, కర్ణం: d = \sqrt{2}a
• చుట్టుకొలత (P): 4a
• వైశాల్యం (A): a^2 లేదా \frac{d^2}{2}

దీర్ఘచతురస్రం (Rectangle)

• పొడవు: l, వెడల్పు: b, కర్ణం: d = \sqrt{l^2 + b^2}
• చుట్టుకొలత (P): 2(l + b)
• వైశాల్యం (A): l \times b
• గది నాలుగు గోడల వైశాల్యం: 2h(l + b) (h = \text{ఎత్తు})

త్రిభుజాలు (Triangles)

• సాధారణ త్రిభుజ వైశాల్యం: A = \frac{1}{2} \times b \times h (b = \text{భూమి}, h = \text{ఎత్తు})
• హీరోన్ సూత్రం (Heron's Formula): A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
  • ఇక్కడ అర్ధ చుట్టుకొలత s = \frac{a+b+c}{2}
• సమబాహు త్రిభుజం (Equilateral Triangle):
  • ఎత్తు (h) = \frac{\sqrt{3}}{2}a
  • వైశాల్యం (A) = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
• సమద్విబాహు త్రిభుజం (Isosceles Triangle): A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2} (ఇక్కడ a సమాన భుజం, b భూమి)

వృత్తం & కంకణం (Circle & Ring)

• వృత్తం (Circle):
  • పరిధి (C) = 2\pi r = \pi d
  • వైశాల్యం (A) = \pi r^2
• అర్ధవృత్తం (Semi-Circle):
  • పరిధి = \pi r + 2r = r(\pi + 2) = \frac{36}{7}r
  • వైశాల్యం = \frac{1}{2}\pi r^2
• కంకణం / వృత్తాకార బాట (Circular Ring):
  • బాహ్య వ్యాసార్థం = R, అంతర వ్యాసార్థం = r
  • బాట వెడల్పు (w) = R - r
  • వైశాల్యం (A) = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R+r)(R-r)

చతుర్భుజాలు (Quadrilaterals)

• సాధారణ చతుర్భుజం: A = \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) (d = \text{కర్ణం}, h_1, h_2 = \text{లంబాలు})
• సమాంతర చతుర్భుజం (Parallelogram): A = b \times h
• రాంబస్ (Rhombus):
  • వైశాల్యం (A) = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
  • భుజం (a) = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}
• ట్రెపీజియం (Trapezium): A = \frac{1}{2} \times h \times (a + b) (a, b లు సమాంతర భుజాలు, h వాటి మధ్య దూరం)

2. త్రిమితీయ ఘనపదార్థాలు (3D Solids)

ఘనాకారం (Solid)	ప్రక్కతల వైశాల్యం (LSA / CSA)	సంపూర్ణతల వైశాల్యం (TSA)	ఘనపరిమాణం (Volume)
సమఘనం (Cube)	4a^2	6a^2	a^3 (కర్ణం = \sqrt{3}a)
దీర్ఘఘనం (Cuboid)	2h(l + b)	2(lb + bh + lh)	l \times b \times h (కర్ణం = \sqrt{l^2+b^2+h^2})
స్తూపం (Cylinder)	2\pi rh	2\pi r(h + r)	\pi r^2 h
శంకువు (Cone)	\pi rl (వాలు ఎత్తు l = \sqrt{r^2+h^2})	\pi r(l + r)	\frac{1}{3}\pi r^2 h
గోళం (Sphere)	4\pi r^2	4\pi r^2	\frac{4}{3}\pi r^3
అర్ధగోళం (Hemisphere)	2\pi r^2	3\pi r^2	\frac{2}{3}\pi r^3

3. ఘనరూపాల మార్పిడి & సమ్మేళనాలు (Conversion & Combination of Solids)

ఒక ఘనాకారం మరొక ఘనాకారంగా మారినప్పుడు (Conversion of Solids):

• ఒక ఘనపదార్థాన్ని కరిగించి మరొక ఆకారంలోకి మార్చినప్పుడు వాటి ఘనపరిమాణంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు (V_1 = V_2).
• ఉదాహరణకు, ఒక లోహపు గోళాన్ని కరిగించి స్థూపంగా మార్చితే: \frac{4}{3}\pi r_1^3 = \pi r_2^2 h
• ఏర్పడే చిన్న వస్తువుల సంఖ్య (n): n = \frac{\text{పెద్ద వస్తువు ఘనపరిమాణం}}{\text{ఒక్కో చిన్న వస్తువు ఘనపరిమాణం}}

ఘనపదార్థాల సమ్మేళనం (Combination of Solids):

• మొత్తం ఘనపరిమాణం (V): విడివిడి ఘనాకారాల ఘనపరిమాణాల మొత్తానికి సమానం (V = V_1 + V_2).
• మొత్తం సంపూర్ణతల వైశాల్యం (TSA): కలిసిన భాగాల ఉపరితలాలు లోపలికి వెళ్లిపోతాయి కాబట్టి, బయటకు కనిపించే ఉపరితల వైశాల్యాలను మాత్రమే కూడాలి.
• బొమ్మ/బొంగరం (శంకువు + అర్ధగోళం):
  • \text{TSA} = \text{శంకువు CSA} + \text{అర్ధగోళం CSA} = \pi rl + 2\pi r^2
  • \text{ఘనపరిమాణం} = \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3
• క్యాప్సూల్ (స్తూపం + 2 అర్ధగోళాలు):
  • \text{TSA} = \text{స్తూపం CSA} + 2 \times (\text{అర్ధగోళం CSA}) = 2\pi rh + 4\pi r^2
  • \text{ఘనపరిమాణం} = \pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3
• సర్కస్ గుడారం (స్తూపం + శంకువు):
  • \text{కాన్వాస్ వైశాల్యం} = \text{స్తూపం CSA} + \text{శంకువు CSA} = 2\pi rh + \pi rl

  
  

  
  

గత TG TET పరీక్షలలో క్షేత్రగణితం (Mensuration) నుండి అడిగిన ముఖ్యమైన ప్రామాణిక ప్రశ్నలు మరియు వాటి వివరణాత్మక సాధనలు:

ప్రశ్న 1: ఒక తీగను చతురస్రాకారంగా వంచినప్పుడు దాని వైశాల్యం 484\text{ సెం.మీ}^2. అదే తీగను వృత్తాకారంగా వంచితే ఏర్పడే వృత్త వైశాల్యం ఎంత?

• సాధన:
  1. చతురస్ర వైశాల్యం (A) = a^2 = 484\text{ సెం.మీ}^2 a = \sqrt{484} = 22\text{ సెం.మీ}
  2. తీగ మొత్తం పొడవు = చతురస్ర చుట్టుకొలత (4a) \text{పొడవు} = 4 \times 22 = 88\text{ సెం.మీ}
  3. అదే తీగను వృత్తంగా మార్చినప్పుడు వృత్త పరిధి (2\pi r) = 88\text{ సెం.మీ} 2 \times \frac{22}{7} \times r = 88 \frac{44}{7} \times r = 88 \implies r = \frac{88 \times 7}{44} = 14\text{ సెం.మీ}
  4. వృత్త వైశాల్యం (A) = \pi r^2 A = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616\text{ సెం.మీ}^2
• సమాధానం: 616\text{ సెం.మీ}^2

ప్రశ్న 2: 60\text{ మీ} \times 40\text{ మీ} కొలతలు గల దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలం చుట్టూ వెలుపల 2.5\text{ మీ} సమాన వెడల్పు గల బాటను నిర్మించారు. ఆ బాట వైశాల్యం ఎంత?

• సాధన:
  1. పొడవు l = 60\text{ మీ}, వెడల్పు b = 40\text{ మీ}, బాట వెడల్పు w = 2.5\text{ మీ}
  2. షార్ట్‌కట్ సూత్రం (వెలుపలి బాట): \text{బాట వైశాల్యం} = 2w(l + b + 2w)
  3. విలువలను ప్రతిక్షేపించగా: \text{వైశాల్యం} = 2(2.5) \times [60 + 40 + 2(2.5)] = 5 \times [100 + 5] = 5 \times 105 = 525\text{ చ.మీ}
• సమాధానం: 525\text{ చ.మీ}

ప్రశ్న 3: 6\text{ సెం.మీ}, 8\text{ సెం.మీ}, 10\text{ సెం.మీ} వ్యాసార్థాలు గల మూడు లోహపు ఘన గోళాలను కరిగించి ఒకే పెద్ద గోళంగా మార్చారు. ఆ కొత్త పెద్ద గోళం వ్యాసార్థం ఎంత?

• సాధన:
  1. పెద్ద గోళం ఘనపరిమాణం (V) = మూడు చిన్న గోళాల ఘనపరిమాణాల మొత్తం (V_1 + V_2 + V_3) \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3
  2. ఇరువైపులా \frac{4}{3}\pi ను తొలగించగా: R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 R^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3 R^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728
  3. R = \sqrt[3]{1728} = 12\text{ సెం.మీ} (12 \times 12 \times 12 = 1728)
• సమాధానం: 12\text{ సెం.మీ}

ప్రశ్న 4: సమాన భూ వ్యాసార్థాలు కలిగిన ఒక స్థూపం మరియు ఒక శంకువుల ఎత్తుల నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే, వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ఎంత?

• సాధన:
  1. వ్యాసార్థాలు సమానం (r_1 = r_2 = r)
  2. ఎత్తుల నిష్పత్తి h_1 : h_2 = 2 : 3 \implies h_1 = 2x, h_2 = 3x
  3. స్థూపం ఘనపరిమాణం (V_1) = \pi r^2 h_1
  4. శంకువు ఘనపరిమాణం (V_2) = \frac{1}{3}\pi r^2 h_2
  5. నిష్పత్తి \frac{V_1}{V_2}: \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r^2 (2x)}{\frac{1}{3}\pi r^2 (3x)} = \frac{2x}{x} = \frac{2}{1} = 2 : 1
• సమాధానం: 2 : 1

ప్రశ్న 5: ఒక రాంబస్ కర్ణాల పొడవులు 16\text{ సెం.మీ} మరియు 12\text{ సెం.మీ} అయితే, దాని భుజం పొడవు మరియు వైశాల్యం కనుగొనండి.

• సాధన:
  1. కర్ణాలు d_1 = 16\text{ సెం.మీ}, d_2 = 12\text{ సెం.మీ}
  2. వైశాల్యం (A): A = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96\text{ సెం.మీ}^2
  3. భుజం (a): రాంబస్ కర్ణాలు లంబంగా సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి కాబట్టి a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} a = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ సెం.మీ}
• సమాధానం: భుజం = 10\text{ సెం.మీ}, వైశాల్యం = 96\text{ సెం.మీ}^2

Practice Tests 

https://guruvu.co.in/tet/mensuration.php