TET Maths - Squares, Square Roots Notes and Practice Test వర్గాలు మరియు మూలాలు,

వర్గాలు - వర్గమూలాలు" (Squares and Square Roots

టెట్ (TET - Paper 1 & Paper 2) పరీక్షల కోసం "వర్గాలు - వర్గమూలాలు" (Squares and Square Roots) ముఖ్యమైన కాన్సెప్ట్స్, ధర్మాలు మరియు సులభమైన పద్ధతుల నోట్స్:

1. ప్రాథమిక నిర్వచనాలు (Definitions)

 * వర్గం (Square): ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధాన్ని ఆ సంఖ్య యొక్క ‘వర్గం’ అంటారు.

   * ఉదాహరణ: x \times x = x^2 (5 \times 5 = 25)

 * వర్గమూలం (Square Root): x^2 = y అయితే, y యొక్క వర్గమూలం x అవుతుంది. దీనిని \sqrt{y} = x గా సూచిస్తారు.

   * ఉదాహరణ: 6^2 = 36 \implies \sqrt{36} = 6

2. 1 నుండి 25 వరకు వర్గాలు (Quick Reference)

| సంఖ్య (n) | వర్గం (n^2) | సంఖ్య (n) | వర్గం (n^2) | సంఖ్య (n) | వర్గం (n^2) |

|---|---|---|---|---|---|

| 1 | 1 | 10 | 100 | 19 | 361 |

| 2 | 4 | 11 | 121 | 20 | 400 |

| 3 | 9 | 12 | 144 | 21 | 441 |

| 4 | 16 | 13 | 169 | 22 | 484 |

| 5 | 25 | 14 | 196 | 23 | 529 |

| 6 | 36 | 15 | 225 | 24 | 576 |

| 7 | 49 | 16 | 256 | 25 | 625 |

| 8 | 64 | 17 | 289 | 30 | 900 |

| 9 | 81 | 18 | 324 | 40 | 1600 |

3. వర్గ సంఖ్యల ముఖ్యమైన ధర్మాలు (Properties)

 * ఒకట్ల స్థాన నియమం (Unit Digits Rule):

   * పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలో 0, 1, 4, 5, 6, 9 మాత్రమే ఉంటాయి.

   * ఒక సంఖ్య చివర 2, 3, 7, 8 ఉంటే అది ఖచ్చితంగా పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.

 * సున్నాల నియమం:

   * ఒక పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య చివర ఉండే సున్నాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ సరి సంఖ్యలో (2, 4, 6...) ఉంటుంది (ఉదా: 100, 400, 90000). బేసి సంఖ్యలో సున్నాలు ఉంటే అది పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.

 * సరి/బేసి సంఖ్యల వర్గాలు:

   * సరి సంఖ్య వర్గం ఎల్లప్పుడూ సరి సంఖ్యే (4^2 = 16).

   * బేసి సంఖ్య వర్గం ఎల్లప్పుడూ బేసి సంఖ్యే (5^2 = 25).

 * మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం:

   * మొదటి n వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ n^2 కు సమానం.

   * ఉదా: 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2 = 16

 * రెండు వరుస సంఖ్యల వర్గాల మధ్య గల సంఖ్యలు:

   * n^2 మరియు (n+1)^2 ల మధ్య ఉండే వర్గీకరణ కాని సంఖ్యల సంఖ్య = 2n.

   * ఉదా: 5^2 (25) మరియు 6^2 (36) మధ్య ఉండే సంఖ్యలు = 2(5) = 10.

 * పైథాగోరియన్ త్రికాలు (Pythagorean Triplets):

   * m > 1 అయినప్పుడు (2m, m^2 - 1, m^2 + 1) లు పైథాగోరియన్ త్రికాలు అవుతాయి.

   * ఉదా: m = 3 అయితే త్రికాలు: (6, 8, 10) \implies 6^2 + 8^2 = 10^2.

4. వర్గమూలం కనుగొనే పద్ధతులు (Methods to Find Square Root)

1. ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి (Prime Factorization Method)

 * ఇచ్చిన సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాలుగా విభజించి, సమాన జతలలో నుండి ఒక సంఖ్యను తీసుకుని గుణించాలి.

 * ఉదాహరణ: \sqrt{784}

   * * జతలు: (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (7 \times 7)

   * 2. భాగహార పద్ధతి (Long Division Method)

 * పెద్ద సంఖ్యలు మరియు దశాంశ సంఖ్యల వర్గమూలాలు కనుగొనడానికి అనువైనది.

 * కుడివైపు నుండి రెండేసి అంకెల చొప్పున బార్‌లు (పీరియడ్స్) పెట్టుకోవాలి.

5. టెట్ పరీక్షల్లో అడిగే ముఖ్యాంశాలు & షార్ట్‌కట్స్ (Shortcuts & Exam Tricks)

ట్రిక్ 1: చివర 5 ఉన్న సంఖ్యల వర్గం కనుగొనడం (N5)

 * సూత్రం: N \times (N+1) పక్కన 25 పెట్టాలి.

   * * * ట్రిక్ 2: వర్గమూలంలోని అంకెల సంఖ్య (Number of Digits in Square Root)

 * ఒక సంఖ్యలో n అంకెలు ఉంటే, దాని వర్గమూలంలో ఉండే అంకెల సంఖ్య:

   * n సరి సంఖ్య అయితే = \frac{n}{2}

   * n బేసి సంఖ్య అయితే = \frac{n + 1}{2}

   * ఉదాహరణ: 4096 లో 4 అంకెలు కలవు \implies \frac{4}{2} = 2 అంకెలు (\sqrt{4096} = 64).

ట్రిక్ 3: మోడల్ ప్రశ్నలు

 * మోడల్ 1: \sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \dots \infty}}}

   * షార్ట్‌కట్: 12 ను వరుస సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయాలి (3 \times 4). మధ్యలో ‘+’ ఉంది కాబట్టి సమాధానం పెద్ద సంఖ్య అవుతుంది = 4.

 * మోడల్ 2: \sqrt{6 - \sqrt{6 - \sqrt{6 - \dots \infty}}}

   * 6 = 2 \times 3, మధ్యలో ‘-’ ఉంది కాబట్టి సమాధానం చిన్న సంఖ్య = 2.