TET Maths కరణీయ, అకరణీయ వాస్తవ సంఖ్యలు Notes , Test

1. Rational Numbers (అకరణీయ సంఖ్యలు - \mathbb{Q})

Definition / నిర్వచనం:

 * English: A number that can be expressed in the form \frac{p}{q}, where p and q are integers and q \neq 0. The set is denoted by \mathbb{Q} (Quotient).

 * తెలుగు: p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q \neq 0 అవుతూ \frac{p}{q} రూపంలో రాయగల సంఖ్యలను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు. దీనిని \mathbb{Q} తో సూచిస్తారు.

 * Examples: \frac{2}{3}, -\frac{5}{7}, 4 = \frac{4}{1}, 0 = \frac{0}{1}, 0.75, 0.\bar{3}

Decimal Representation (దశాంశ రూపం):

 * Terminating Decimals (అంతమయ్యే దశాంశాలు):

   * A rational number \frac{p}{q} has a terminating decimal expansion if the prime factorization of q is in the form of 2^n \times 5^m (where n, m \ge 0).

   * ఉదాహరణ: \frac{3}{8} = \frac{3}{2^3 \times 5^0} = 0.375

 * Non-terminating Recurring Decimals (అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశాలు):

   * If the prime factorization of q contains factors other than 2 and 5.

   * ఉదాహరణ: \frac{1}{3} = 0.333\dots = 0.\bar{3}, \frac{2}{7} = 0.\overline{285714}

2. Irrational Numbers (కరణీయ సంఖ్యలు - \mathbb{S} / \mathbb{Q}')

Definition / నిర్వచనం:

 * English: A number that cannot be expressed in the \frac{p}{q} form (p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0).

 * తెలుగు: p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q \neq 0 అవుతూ \frac{p}{q} రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు.

 * Decimal Form: Non-terminating and non-recurring decimals (అంతం కాని మరియు ఆవర్తనం కాని దశాంశాలు).

 * Examples: \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt[3]{7}, \pi, e, 0.1010010001\dots

> TET Crucial Note: \pi is an irrational number, but its approximate computational value \frac{22}{7} or 3.14 is a rational number.

> 

3. Real Numbers (వాస్తవ సంఖ్యలు - \mathbb{R})

Definition / నిర్వచనం:

 * English: The union of all rational and irrational numbers forms the set of Real Numbers: \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'.

 * తెలుగు: అకరణీయ సంఖ్యలు మరియు కరణీయ సంఖ్యల సమ్మేళనాన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు.

 * Completeness Property (పరిపూర్ణతా ధర్మం): Every point on the number line represents a unique real number, and every real number corresponds to a unique point on the number line.

Comparison & Quick Reference (ముఖ్యమైన తేడాలు)

| Property / లక్షణం | Rational Numbers (\mathbb{Q}) | Irrational Numbers (\mathbb{Q}') |

|---|---|---|

| \frac{p}{q} Form | Can be expressed (q \neq 0) | Cannot be expressed |

| Decimal Form | Terminating OR Non-terminating Repeating | Non-terminating Non-repeating |

| Square roots | Perfect squares: \sqrt{4}=2, \sqrt{9}=3 | Non-perfect squares: \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7} |

| Symbolic Representation | \mathbb{Q} | \mathbb{Q}' or \mathbb{S} |

TET Important Properties & Arithmetic Rules (పరీక్షలో అడిగే ముఖ్య నియమాలు)

 * Between Any Two Real Numbers:

   * Infinitely many rational and irrational numbers exist (Density Property / సాంద్రతా ధర్మం).

   * Rational number between a and b = \frac{a + b}{2}

   * Irrational number between a and b = \sqrt{ab} (if ab is not a perfect square).

 * Operations Rules:

   * \text{Rational} + \text{Irrational} = \textbf{Irrational} (e.g., 3 + \sqrt{2})

   * \text{Rational} - \text{Irrational} = \textbf{Irrational} (e.g., 5 - \sqrt{3})

   * \text{Non-zero Rational} \times \text{Irrational} = \textbf{Irrational} (e.g., 2\sqrt{3})

   * \text{Irrational} \pm \text{Irrational} or \text{Irrational} \times \text{Irrational} = \textbf{May be Rational or Irrational}

     * \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0 (Rational)

     * \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 (Rational)

     * \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} (Irrational)

Test