TET Maths ముఖ్యమైన నోట్స్ నిరూపక జ్యామితి (Coordinate Geometry) Practice Test

నిరూపక జ్యామితి (Coordinate Geometry) – TET ముఖ్యమైన నోట్స్

నిరూపక జ్యామితి అనేది బీజగణితం (Algebra) మరియు జ్యామితి (Geometry) లను అనుసంధానించే గణిత విభాగం. దీనిని ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త రెనే దేకార్తె (René Descartes) ప్రతిపాదించారు. అందువల్ల ఈ వ్యవస్థను కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థ (Cartesian Coordinate System) అని పిలుస్తారు.

1. కార్టీసియన్ నిరూపక వ్యవస్థ & బిందువు నిరూపకాలు

• X-అక్షం (X-axis): తలంలో గీసిన క్షితిజ సమాంతర రేఖను (Horizontal line) X-అక్షం అంటారు. దీని సమీకరణం y = 0.
• Y-అక్షం (Y-axis): క్షితిజ లంబ రేఖను (Vertical line) Y-అక్షం అంటారు. దీని సమీకరణం x = 0.
• మూల బిందువు (Origin - O): X, Y అక్షాలు ఖండించుకునే బిందువు O(0, 0).
• బిందువు నిరూపకాలు P(x, y):
  • x-నిరూపకం (భుజము / Abscissa): Y-అక్షం నుండి బిందువుకు గల లంబ దూరం.
  • y-నిరూపకం (కోటి / Ordinate): X-అక్షం నుండి బిందువుకు గల లంబ దూరం.

2. పాదాలు (Quadrants) & బిందువుల స్థానాలు

X మరియు Y అక్షాలు కార్టీసియన్ తలాన్ని నాలుగు భాగాలుగా (పాదాలు) విభజిస్తాయి:

పాదం (Quadrant)	x-విలువ	y-విలువ	బిందువు గుర్తులు	ఉదాహరణ
మొదటి పాదం (Q_1)	ధనాత్మకం (x > 0)	ధనాత్మకం (y > 0)	(+, +)	(3, 5)
రెండవ పాదం (Q_2)	రుణాత్మకం (x < 0)	ధనాత్మకం (y > 0)	(-, +)	(-4, 2)
మూడవ పాదం (Q_3)	రుణాత్మకం (x < 0)	రుణాత్మకం (y < 0)	(-, -)	(-3, -5)
నాల్గవ పాదం (Q_4)	ధనాత్మకం (x > 0)	రుణాత్మకం (y < 0)	(+, -)	(6, -2)

• అక్షాలపై బిందువులు:
  • X-అక్షం పై ఉండే ఏ బిందువు అయినా (x, 0) రూపంలో ఉంటుంది (ఇక్కడ y = 0).
  • Y-అక్షం పై ఉండే ఏ బిందువు అయినా (0, y) రూపంలో ఉంటుంది (ఇక్కడ x = 0).

3. రెండు బిందువుల మధ్య దూరం (Distance Formula)

తలంలో A(x_1, y_1) మరియు B(x_2, y_2) అనే రెండు బిందువుల మధ్య దూరం (d):

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

• మూల బిందువు నుండి దూరం: మూల బిందువు O(0, 0) నుండి P(x, y) బిందువుకు దూరం = \sqrt{x^2 + y^2}.
• X-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న రేఖపై బిందువుల మధ్య దూరం = \vert{}x_2 - x_1\vert{}.
• Y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న రేఖపై బిందువుల మధ్య దూరం = \vert{}y_2 - y_1\vert{}.

4. విభజన సూత్రం (Section Formula) & మధ్య బిందువు

A(x_1, y_1) మరియు B(x_2, y_2) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని P(x, y) అనే బిందువు విభజించినప్పుడు:

• అంతర విభజన సూత్రం (m_1 : m_2 నిష్పత్తిలో): P(x, y) = \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right)
• బాహ్య విభజన సూత్రం (m_1 : m_2 నిష్పత్తిలో): P(x, y) = \left(\frac{m_1x_2 - m_2x_1}{m_1 - m_2}, \frac{m_1y_2 - m_2y_1}{m_1 - m_2}\right)
• మధ్య బిందువు సూత్రం (Mid-point Formula, 1:1 నిష్పత్తి): M(x, y) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
• త్రిభాగా బిందువులు (Points of Trisection): ఒక రేఖాఖండాన్ని మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించే బిందువులు ఆ రేఖను 1:2 మరియు 2:1 నిష్పత్తులలో అంతరంగా విభజిస్తాయి.

5. త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం (Centroid of a Triangle)

త్రిభుజం యొక్క మూడు మధ్యగత రేఖలు (Medians) ఏకీభవించే బిందువును గురుత్వ కేంద్రం (G) అంటారు.

• శీర్షాలు A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) అయినప్పుడు: G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)
• కీలక అంశం: గురుత్వ కేంద్రం (G) ప్రతి మధ్యగత రేఖను శీర్షం వైపు నుండి 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

6. త్రిభుజ వైశాల్యం & ఏకరేఖీయత (Area & Collinearity)

• A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం (\Delta): \Delta = \frac{1}{2} \vert{}x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\vert{} \text{ చదరపు యూనిట్లు}
• ఏకరేఖీయత (Collinearity): మూడు బిందువులు ఒకే సరళరేఖపై ఉంటే వాటిని సరేఖీయ బిందువులు (Collinear Points) అంటారు.
  • నిబంధన 1: ఆ మూడు బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా కావాలి (\Delta = 0).
  • నిబంధన 2: AB వాలు = BC వాలు (m_{AB} = m_{BC}).
  • నిబంధన 3: దూరాల పరంగా AB + BC = AC.

7. సరళరేఖ వాలు (Slope of a Line)

సరళరేఖ ధన X-అక్షంతో అపసవ్య దిశలో చేసే కోణం \theta (0^\circ \le \theta < 180^\circ) అయితే:

• వాలు (m): m = \tan \theta
• రెండు బిందువులు (x_1, y_1), (x_2, y_2) ఇచ్చినప్పుడు: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
• ax + by + c = 0 సాధారణ రూపంలో ఉన్న రేఖ వాలు: m = -\frac{a}{b} = -\frac{x\text{-గుణకం}}{y\text{-గుణకం}}
• వాలుల సంబంధాలు:
  • X-అక్షం వాలు = 0 (\theta = 0^\circ).
  • Y-అక్షం వాలు నిర్వచించబడదు (\theta = 90^\circ).
  • సమాంతర రేఖల వాలులు సమానం (m_1 = m_2).
  • పరస్పర లంబ రేఖల వాలుల లబ్ధం -1 (m_1 \cdot m_2 = -1).

8. రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు (ax + by + c = 0)

రెండు చరరాశులు కలిగిన రేఖీయ సమీకరణం కార్టీసియన్ తలంలో ఎల్లప్పుడూ ఒక సరళరేఖను సూచిస్తుంది.

రెండు రేఖీయ సమీకరణాల జత a_1x + b_1y + c_1 = 0 మరియు a_2x + b_2y + c_2 = 0 వ్యవస్థ స్వభావం:

గుణకాల నిష్పత్తుల పోలిక	రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యం	సాధనల సంఖ్య	సమీకరణాల స్వభావం
\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}	ఖండన రేఖలు (Intersecting lines)	ఏకైక సాధన (ఒకే ఒక సాధన)	సంగత సమీకరణాలు (Consistent)
\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}	ఏకీభవించే రేఖలు (Coincident lines)	అనంత సాధనలు	సంగత / ఆధారిత సమీకరణాలు (Dependent)
\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}	సమాంతర రేఖలు (Parallel lines)	సాధన లేదు	అసంగత సమీకరణాలు (Inconsistent)

9. సౌష్టవం & ప్రతిబింబాలు (Symmetry & Reflections)

ఒక బిందువు P(x, y) యొక్క ప్రతిబింబ స్థానాలు:

• X-అక్షం పరంగా ప్రతిబింబం: (x, -y) (y గుర్తు మారుతుంది).
• Y-అక్షం పరంగా ప్రతిబింబం: (-x, y) (x గుర్తు మారుతుంది).
• మూల బిందువు O(0, 0) పరంగా ప్రతిబింబం: (-x, -y) (రెండు గుర్తులూ మారుతాయి).
• y = x రేఖ పరంగా ప్రతిబింబం: (y, x) (స్థానాలు తారుమారవుతాయి).
• y = -x రేఖ పరంగా ప్రతిబింబం: (-y, -x).

1. త్రిభుజ వైశాల్యం – 'మూల బిందువు బదిలీ' షార్ట్‌కట్ (Shift to Origin)

సాధారణ సూత్రం (\Delta = \frac{1}{2}\vert{}x_1(y_2-y_3) + ...\vert{}) కంటే ఈ పద్ధతి ద్వారా 5–10 సెకన్లలో జవాబు రాబట్టవచ్చు.

• సూత్రం: ఏదైనా ఒక శీర్షాన్ని (0,0) గా మార్చడానికి ఎంత తీసివేయాలో/కలపాలో మిగిలిన రెండు బిందువులకు కూడా అంతే చేయాలి. అప్పుడు వచ్చే రెండు బిందువులు (x_1, y_1), (x_2, y_2) అయితే: \Delta = \frac{1}{2} \vert{}x_1 y_2 - x_2 y_1\vert{}

ఉదాహరణ: (1, 2), (3, 8), (-2, 5) శీర్షాలుగా గల త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?

1. మొదటి బిందువు (1, 2) ను (0, 0) చేయాలంటే x నుండి 1, y నుండి 2 తీసివేయాలి.
2. మిగిలిన బిందువులకు కూడా అదే వర్తింపజేస్తే:
   • (3 - 1, 8 - 2) = (2, 6)
   • (-2 - 1, 5 - 2) = (-3, 3)
3. వైశాల్యం = \frac{1}{2} \vert{}(2 \times 3) - (6 \times -3)\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}6 - (-18)\vert{} = \frac{1}{2} \vert{}24\vert{} = \mathbf{12 \text{ చ.యూనిట్లు}}.

2. విభజన నిష్పత్తి షార్ట్‌కట్స్ (Ratio Shortcuts)

A(x_1, y_1) మరియు B(x_2, y_2) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని అక్షాలు లేదా సరళరేఖలు విభజించే నిష్పత్తిని సూటిగా కనుగొనవచ్చు:

విభజించే సాధనం	షార్ట్‌కట్ సూత్రం	గుర్తు ప్రాముఖ్యత
X-అక్షం విభజించే నిష్పత్తి	-y_1 : y_2	ధనాత్మకం (+) వస్తే అంతర విభజన; రుణాత్మకం (-) వస్తే బాహ్య విభజన
Y-అక్షం విభజించే నిష్పత్తి	-x_1 : x_2	ధనాత్మకం (+) వస్తే అంతర విభజన; రుణాత్మకం (-) వస్తే బాహ్య విభజన
సరళరేఖ ax + by + c = 0 విభజించే నిష్పత్తి	-\frac{ax_1 + by_1 + c}{ax_2 + by_2 + c} = -\frac{L_{11}}{L_{22}}	ధనాత్మకం (+) వస్తే అంతర విభజన; రుణాత్మకం (-) వస్తే బాహ్య విభజన

ఉదాహరణ 1 (X-అక్షం నిష్పత్తి): (2, -3) మరియు (5, 6) లను కలిపే రేఖను X-అక్షం ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది?

• నిష్పత్తి = -y_1 : y_2 = -(-3) : 6 = 3 : 6 = \mathbf{1 : 2} (అంతరంగా).

ఉదాహరణ 2 (రేఖ నిష్పత్తి): 2x + 3y - 5 = 0 రేఖ A(1, 2) మరియు B(3, 4) లను కలిపే రేఖను ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది?

• L_{11} = 2(1) + 3(2) - 5 = 2 + 6 - 5 = 3
• L_{22} = 2(3) + 3(4) - 5 = 6 + 12 - 5 = 13
• నిష్పత్తి = -\frac{L_{11}}{L_{22}} = -\frac{3}{13} \implies \mathbf{3 : 13 \text{ (బాహ్య విభజన)}}.

3. సమాంతర చతుర్భుజం నాల్గవ శీర్షం షార్ట్‌కట్ (4th Vertex of Parallelogram)

సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు పరస్పరం సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. కాబట్టి ఎదురెదురు శీర్షాల మొత్తం సమానం (A + C = B + D).

• వరుస శీర్షాలు A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) ఇచ్చినప్పుడు నాల్గవ శీర్షం D(x_4, y_4): D = (x_1 + x_3 - x_2, \; y_1 + y_3 - y_2)

ఉదాహరణ: సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క మూడు వరుస శీర్షాలు A(1, 2), B(4, 6), C(5, 7) అయితే నాల్గవ శీర్షం D:

• x_4 = 1 + 5 - 4 = 2
• y_4 = 2 + 7 - 6 = 3
• నాల్గవ శీర్షం D = \mathbf{(2, 3)}.

4. త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువులు ఇచ్చినప్పుడు శీర్షాలు కనుగొనడం

త్రిభుజ భుజాల మధ్య బిందువులు D, E, F గా ఇచ్చినప్పుడు, ఆ శీర్షం పక్కనున్న రెండు మధ్య బిందువులను కలిపి ఎదురుగా ఉన్న మధ్య బిందువును తీసివేయాలి:

• శీర్షం A = E + F - D (ఇక్కడ D అనేది BC మధ్య బిందువు)
• శీర్షం B = D + F - E
• శీర్షం C = D + E - F
• గురుత్వ కేంద్రం (G): శీర్షాలతో కనుగొన్న గురుత్వ కేంద్రం మరియు మధ్య బిందువులతో కనుగొన్న గురుత్వ కేంద్రం రెండూ సమానం: G = \left(\frac{x_D + x_E + x_F}{3}, \frac{y_D + y_E + y_F}{3}\right)

Practice Test 

https://guruvu.co.in/tet/coordinate_geometry.php