TET DSC Maths ఘాతాలు, ఘాతాంకాలు, వర్గాలు మరియు వర్గమూలాల నోట్స్ మరియు టెస్ట్

గణితంలో ఘాతాలు, ఘాతాంకాలు, వర్గాలు మరియు వర్గమూలాల సమగ్ర నోట్స్:

1. ఘాతాలు మరియు ఘాతాంకాలు (Exponents and Powers)

ఒక సంఖ్యను దానితోటే అనేకసార్లు గుణించడాన్ని సంక్షిప్తంగా సూచించడానికి ఘాతాంకాలను ఉపయోగిస్తారు.

• రూపం: a^n
  • a (భూమి - Base): గుణించబడుతున్న సంఖ్య.
  • n (ఘాతాంకం - Exponent / Index): ఆ సంఖ్య ఎన్నిసార్లు గుణించబడుతుందో తెలిపే సంఖ్య.
  • a^n (ఘాతం - Power): మొత్తం సమాసాన్ని 'ఘాతం' అంటారు (చదివే విధానం: "a పవర్ n").
  • ఉదాహరణ: 2⁴ = 2 × 2 ×2 × 2 = 16 (ఇక్కడ భూమి = 2, ఘాతాంకం = 4).

ముఖ్యమైన ఘాతాంక న్యాయాలు (Laws of Exponents)

సూత్రం	వివరణ / ఉదాహరణ
a^m × a^n = a^{m+n}	భూములు సమానమై గుణకారంలో ఉన్నప్పుడు ఘాతాంకాలను కూడాలి. ఉదా: 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} (m > n, a \neq 0)	భూములు సమానమై భాగాహారంలో ఉన్నప్పుడు ఘాతాంకాలను తీసివేయాలి. ఉదా: \frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27
(a^m)^n = a^{m \cdot n}	ఘాతానికి ఘాతం ఉన్నప్పుడు ఘాతాంకాలను గుణించాలి. ఉదా: (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64
(ab)^n = a^n \cdot b^n	లబ్ధానికి ఘాతం ఉన్నప్పుడు విడదీసి రాయవచ్చు. ఉదా: (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} (b \neq 0)	భిన్నానికి ఘాతం ఉన్నప్పుడు లవ, హారాలకు విడివిడిగా వర్తిస్తుంది.
a^0 = 1 (a \neq 0)	సున్నా కాని ఏ సంఖ్య ఘాతాంకమైనా సున్నా అయితే దాని విలువ 1. ఉదా: 5^0 = 1, 100^0 = 1
a^{-n} = \frac{1}{a^n}	ఘాతాంకం రుణాత్మకమైతే, దానిని భిన్న రూపంలో ధనాత్మకంగా మార్చవచ్చు. ఉదా: 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
a^{1/n} = \sqrt[n]{a}	భిన్న ఘాతాంకం మూలాన్ని (Root) సూచిస్తుంది. ఉదా: 16^{1/2} = \sqrt{16} = 4

2. వర్గాలు (Squares)

ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధాన్ని ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గం (Square) అంటారు.

• రూపం: x^2 = x \times x
• ఖచ్చిత వర్గం (Perfect Square): ఒక పూర్ణ సంఖ్యను అదే పూర్ణ సంఖ్యతో గుణించగా ఏర్పడే సంఖ్యను ఖచ్చిత వర్గం అంటారు.
  • ఉదాహరణ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 \dots

వర్గాల ముఖ్య లక్షణాలు

1. ఒకట్ల స్థాన నియమం: ఏదైనా ఖచ్చిత వర్గ సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 0, 1, 4, 5, 6, 9 మాత్రమే ఉంటాయి.
2. వర్గం కాని సంఖ్యలు: ఒకట్ల స్థానంలో 2, 3, 7, 8 ఉన్న ఏ సంఖ్య కూడా ఖచ్చిత వర్గం కాదు.
3. సరి సంఖ్య యొక్క వర్గం ఎల్లప్పుడూ సరి సంఖ్యే అవుతుంది (4^2 = 16).
4. బేసి సంఖ్య యొక్క వర్గం ఎల్లప్పుడూ బేసి సంఖ్యే అవుతుంది (5^2 = 25).
5. చివరి అంకె 5 ఉన్న సంఖ్యల వర్గం చివరి రెండు అంకెలు ఎల్లప్పుడూ 25 అవుతాయి (25^2 = 625, 35^2 = 1225).

1 నుండి 20 వరకు వర్గాలు

సంఖ్య (n)	వర్గం (n^2)	సంఖ్య (n)	వర్గం (n^2)
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225
6	36	16	256
7	49	17	289
8	64	18	324
9	81	19	361
10	100	20	400

3. వర్గమూలాలు (Square Roots)

వర్గం చేయడానికి వ్యతిరేక ప్రక్రియను వర్గమూలం (Square Root) అంటారు.

• y^2 = x అయితే, x యొక్క వర్గమూలం y అవుతుంది.
• గుర్తు: \sqrt{} (రాడికల్ సైన్) లేదా x^{1/2}
• ఉదాహరణ: 6^2 = 36 \implies \sqrt{36} = 6

వర్గమూలం కనుగొనే పద్ధతులు

1. ప్రధాన కారణాంకాల విభజన పద్ధతి (Prime Factorization Method):
   • సంఖ్యను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయాలి.
   • ఒకే విధమైన కారణాంకాలను జతలుగా (Pairs) చేసి, ప్రతి జత నుండి ఒక అంకెను తీసుకొని గుణించాలి.
   • ఉదాహరణ: 144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3)
   • \sqrt{144} = 2 \times 2 \times 3 = 12
2. భాగహార పద్ధతి (Long Division Method):
   • పెద్ద సంఖ్యలకు మరియు దశాంశ సంఖ్యల వర్గమూలాలు కనుగొనడానికి ఈ పద్ధతి అనుకూలంగా ఉంటుంది.
   • కుడివైపు నుంచి రెండేసి అంకెల చొప్పున బార్లు (Periods) ఉంచి భాగహారం చేయాలి.
3. పునరావృత వ్యవకలన పద్ధతి (Repeated Subtraction Method):
   • ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి వరుస బేసి సంఖ్యలను (1, 3, 5, 7, 9\dots) శేషం సున్నా వచ్చే వరకు తీసివేయాలి.
   • ఎన్ని సార్లు తీసివేస్తే సున్నా వస్తుందో అదే ఆ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం.
   • ఉదాహరణ (9 కి):
     1. 9 - 1 = 8
     2. 8 - 3 = 5
     3. 5 - 5 = 0 (మొత్తం 3 సోపానాలు \implies \sqrt{9} = 3)

ముఖ్యమైన సూత్రాలు (Quick Formulas)

• \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}
• \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (b \neq 0)

• (\sqrt{a})^2 = a