అనులోమానుపాతం, విలోమానుపాతం, సమయం-పని, దూరం, వేగం, కాలం Short Notes Practice Tes

TG TET పేపర్-2 (గణితం) సిలబస్‌కు అనుగుణంగా అనులోమానుపాతం, విలోమానుపాతం, సమయం-పని, దూరం-వేగం-కాలం అంశాలకు సంబంధించిన పూర్తి నోట్స్, ముఖ్యమైన సూత్రాలు మరియు మోడల్ లెక్కలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

అనులోమానుపాతం, విలోమానుపాతం, సమయం-పని, దూరం-వేగం-కాలం

1. అనులోమానుపాతం (Direct Proportion)

 * భావన: రెండు రాశులు x, y లలో ఒక రాశి పెరిగితే రెండవ రాశి కూడా అదే నిష్పత్తిలో పెరగడం లేదా ఒక రాశి తగ్గితే రెండవ రాశి కూడా అదే నిష్పత్తిలో తగ్గడాన్ని అనులోమానుపాతం అంటారు.

 * నియమం: అనులోమానుపాతంలో ఉన్నప్పుడు వాటి నిష్పత్తి ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది.

   

 * నిత్యజీవిత ఉదాహరణలు:

   * కొనుగోలు చేసిన వస్తువుల సంఖ్య – వాటి మొత్తం ఖరీదు.

   * ప్రయాణించిన దూరం – వినియోగించిన పెట్రోల్ పరిమాణం.

   * పని గంటలు – సంపాదించే కూలీ.

 * మోడల్ లెక్క:

   > ప్రశ్న: 15 పుస్తకాల ఖరీదు ₹450 అయితే, అలాంటి 24 పుస్తకాల ఖరీదు ఎంత?

   > సాధన:

   > పుస్తకాల సంఖ్య (x_1 = 15, x_2 = 24), ఖరీదు (y_1 = 450, y_2 = ?)

   > ఇవి అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి.

   > \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \implies \frac{15}{450} = \frac{24}{y_2}

   > y_2 = \frac{24 \times 450}{15} = 24 \times 30 = \mathbf{₹720}

   > 

2. విలోమానుపాతం (Inverse Proportion)

 * భావన: రెండు రాశులు x, y లలో ఒక రాశి పెరిగితే రెండవ రాశి అదే నిష్పత్తిలో తగ్గడం లేదా ఒక రాశి తగ్గితే రెండవ రాశి అదే నిష్పత్తిలో పెరగడాన్ని విలోమానుపాతం అంటారు.

 * నియమం: విలోమానుపాతంలో ఉన్నప్పుడు వాటి లబ్ధం (Product) ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది.

   

 * నిత్యజీవిత ఉదాహరణలు:

   * ప్రయాణ వేగం – గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి పట్టే కాలం (దూరం స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు).

   * పని చేసే వ్యక్తుల సంఖ్య – పని పూర్తి కావడానికి పట్టే రోజుల సంఖ్య.

   * వసతి గృహంలో విద్యార్థుల సంఖ్య – నిల్వ ఉన్న ఆహారం సరిపోయే రోజుల సంఖ్య.

 * మోడల్ లెక్క:

   > ప్రశ్న: 12 మంది మనుషులు ఒక గోడను 8 రోజుల్లో నిర్మించగలరు. అదే గోడను 6 రోజుల్లో పూర్తి చేయడానికి ఎంతమంది మనుషులు అవసరం?

   > సాధన:

   > మనుషుల సంఖ్య (x_1 = 12, x_2 = ?), రోజుల సంఖ్య (y_1 = 8, y_2 = 6)

   > ఇది విలోమానుపాతం కావున:

   > x_1 y_1 = x_2 y_2

   > 12 \times 8 = x_2 \times 6

   > x_2 = \frac{96}{6} = \mathbf{16\text{ మంది}}

   > 

3. సమయం మరియు పని (Time & Work)

ముఖ్య సూత్రాలు & నియమాలు:

 * ఒక వ్యక్తి ఒక పనిని n రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే, అతని 1 రోజు పని = \frac{1}{n} భాగం.

 * A ఒక పనిని x రోజుల్లో, B అదే పనిని y రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే, ఇద్దరూ కలిసి ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే కాలం:

   

 * A, B, C ముగ్గురూ కలిసి చేసే కాలం:

  

 * గొలుసు సూత్రం (Chain Rule):

  

   (ఇక్కడ M = మనుషులు, D = రోజులు, H = రోజుకు గంటలు, W = పని / వేతనం)

 * మోడల్ లెక్కలు:

   > లెక్క 1: A ఒక పనిని 10 రోజుల్లో, B అదే పనిని 15 రోజుల్లో చేయగలరు. ఇద్దరూ కలిసి ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో చేస్తారు?

   > సాధన:

   > షార్ట్‌కట్: \frac{x \times y}{x + y} = \frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = \mathbf{6\text{ రోజులు}}

   > 

   > లెక్క 2: 20 మంది కూలీలు రోజుకు 6 గంటలు పనిచేస్తూ ఒక పనిని 15 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు. అదే పనిని 18 రోజుల్లో రోజుకు 5 గంటలు పనిచేస్తూ పూర్తి చేయడానికి ఎంతమంది కూలీలు అవసరం?

   > సాధన:

   > M_1 D_1 H_1 = M_2 D_2 H_2

   > 20 \times 15 \times 6 = M_2 \times 18 \times 5

   > 1800 = M_2 \times 90 \implies M_2 = \frac{1800}{90} = \mathbf{20\text{ మంది}}

   > 

4. వేగం - దూరం - కాలం (Speed, Distance & Time)

ప్రాథమిక సూత్రాలు:

 * * * ప్రమాణాల మార్పిడి (Unit Conversions):

 * km/h నుండి m/s లోకి మార్చడానికి: \times \frac{5}{18} తో గుణించాలి.

   ఉదా: 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \text{ m/s}

 * m/s నుండి km/h లోకి మార్చడానికి: \times \frac{18}{5} తో గుణించాలి.

   ఉదా: 25 \text{ m/s} = 25 \times \frac{18}{5} = 90 \text{ km/h}

సగటు వేగం (Average Speed):

 * ఒక వ్యక్తి సమాన దూరాలను x \text{ km/h} మరియు y \text{ km/h} వేగాలతో ప్రయాణిస్తే:

   

 * అసమాన దూరాలు ఉన్నప్పుడు: \text{సగటు వేగం} = \frac{\text{మొత్తం ప్రయాణించిన దూరం}}{\text{మొత్తం పట్టిన కాలం}}

రైలు సంబంధిత లెక్కలు (Trains):

 * L మీటర్ల పొడవు గల రైలు ఒక స్తంభాన్ని లేదా నిలబడిన మనిషిని దాటడానికి ప్రయాణించాల్సిన దూరం = రైలు పొడవు (L).

 * L_1 పొడవు గల రైలు, L_2 పొడవు గల ప్లాట్‌ఫారమ్‌ను లేదా వంతెనను దాటడానికి ప్రయాణించాల్సిన దూరం = (L_1 + L_2).

 * సాపేక్ష వేగం (Relative Speed):

   * రెండు వస్తువులు/రైళ్లు వ్యతిరేక దిశల్లో (Opposite directions) ప్రయాణిస్తే: సాపేక్ష వేగం = u + v

   * రెండు వస్తువులు/రైళ్లు ఒకే దిశలో (Same direction) ప్రయాణిస్తే: సాపేక్ష వేగం = u - v

 * మోడల్ లెక్క:

   > ప్రశ్న: 150 మీటర్ల పొడవు గల ఒక రైలు 54 km/h వేగంతో ప్రయాణిస్తూ, ఒక టెలిగ్రాఫ్ స్తంభాన్ని దాటడానికి పట్టే సమయం ఎంత?

   > సాధన:

   > దూరం (D) = 150 మీటర్లు

   > వేగం (S) = 54 \text{ km/h} = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \text{ m/s}

   > \text{కాలం} = \frac{\text{దూరం}}{\text{వేగం}} = \frac{150}{15} = \mathbf{10\text{ సెకన్లు}}

   > 

పరీక్ష కోసం ముఖ్యమైన చిట్కాలు (Quick Revision Tips)

 * అనులోమానుపాతంలో క్రాస్-మల్టిప్లికేషన్ (x_1 y_2 = x_2 y_1) వాడాలి.

 * విలోమానుపాతంలో ఎదురెదురు గుణకారం (x_1 y_1 = x_2 y_2) వాడాలి.

 * వేగం లెక్కల్లో దూరాలు మీటర్లలో ఉండి, వేగం km/h లో ఉంటే తప్పనిసరిగా \frac{5}{18} తో మార్చడం మర్చిపోవద్దు.

 * పని లెక్కలను LCM (క.సా.గు) పద్ధతి ద్వారా సులభంగా మరియు వేగంగా సాధించవచ్చు.

Practice Test 

Test