TET Maths Paper 2 Trigonometry త్రికోణమితి Short Notes and Practice Test

తెలంగాణ ఉపాధ్యాయ అర్హత పరీక్ష (TS-TET) మ్యాథ్స్ సిలబస్ ఆధారంగా 10వ తరగతి త్రికోణమితి (Trigonometry) మరియు త్రికోణమితి అనువర్తనాల (Applications of Trigonometry) సమగ్ర నోట్స్ కింద ఇవ్వబడింది.

1. త్రికోణమితి పరిచయం (Introduction)

• త్రికోణమితి (Trigonometry): గ్రీకు పదాలైన ట్రై (Tri = మూడు), గోనియా (Gonia = కోణం), మెట్రాన్ (Metron = కొలత) అనే పదాల కలయికతో ఏర్పడింది.
• ఇది లంబకోణ త్రిభుజంలోని భుజాలు మరియు కోణాల మధ్య గల సంబంధాలను అధ్యయనం చేస్తుంది.

లంబకోణ త్రిభుజ భాగాలు (Right Angled Triangle)

\triangle ABC లో \angle B = 90^\circ, లఘుకోణం \angle A = \theta అనుకుంటే:

1. కర్ణము (Hypotenuse): లంబకోణానికి (90^\circ) ఎదురుగా ఉండే భుజం (AC). ఇది త్రిభుజంలో అన్నిటికంటే పెద్ద భుజం.
2. ఎదుటి భుజం (Opposite side): కోణం \theta కు ఎదురుగా ఉండే భుజం (BC).
3. ఆసన్న భుజం (Adjacent side): కోణం \theta ను ఆనుకుని ఉండే భుజం (AB).

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం: \text{కర్ణము}^2 = \text{భుజము}^2 + \text{భుజము}^2 \implies AC^2 = AB^2 + BC^2

2. త్రికోణమితి నిష్పత్తులు & సంబంధాలు (Trigonometric Ratios)

లంబకోణ త్రిభుజంలో లఘుకోణం \theta ఆధారంగా 6 ప్రాథమిక నిష్పత్తులు ఉంటాయి:

నిష్పత్తి	సూత్రం	భుజాల సంబంధం
\sin \theta	\frac{\text{ఎదుటి భుజం}}{\text{కర్ణము}}	\frac{BC}{AC}
\cos \theta	\frac{\text{ఆసన్న భుజం}}{\text{కర్ణము}}	\frac{AB}{AC}
\tan \theta	\frac{\text{ఎదుటి భుజం}}{\text{ఆసన్న భుజం}}	\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{BC}{AB}
\cot \theta	\frac{\text{ఆసన్న భుజం}}{\text{ఎదుటి భుజం}}	\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{AB}{BC}
\sec \theta	\frac{\text{కర్ణము}}{\text{ఆసన్న భుజం}}	\frac{1}{\cos \theta} = \frac{AC}{AB}
\text{cosec } \theta	\frac{\text{కర్ణము}}{\text{ఎదుటి భుజం}}	\frac{1}{\sin \theta} = \frac{AC}{BC}

పరస్పర విలోమ సంబంధాలు (Reciprocal Relations)

• \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta = 1 \implies \sin \theta = \frac{1}{\text{cosec } \theta}
• \cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \implies \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}
• \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \implies \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}

3. నిర్దిష్ట కోణాల త్రికోణమితి నిష్పత్తుల పట్టిక (0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ)

నిష్పత్తి	0^\circ	30^\circ	45^\circ	60^\circ	90^\circ
\sin \theta	0	\frac{1}{2}	\frac{1}{\sqrt{2}}	\frac{\sqrt{3}}{2}	1
\cos \theta	1	\frac{\sqrt{3}}{2}	\frac{1}{\sqrt{2}}	\frac{1}{2}	0
\tan \theta	0	\frac{1}{\sqrt{3}}	1	\sqrt{3}	నిర్వచించబడదు (\infty)
\cot \theta	నిర్వచించబడదు (\infty)	\sqrt{3}	1	\frac{1}{\sqrt{3}}	0
\sec \theta	1	\frac{2}{\sqrt{3}}	\sqrt{2}	2	నిర్వచించబడదు (\infty)
\text{cosec } \theta	నిర్వచించబడదు (\infty)	2	\sqrt{2}	\frac{2}{\sqrt{3}}	1

TET పరీక్ష కోసం ముఖ్య గమనికలు:

• \theta విలువ 0^\circ నుండి 90^\circ కు పెరిగేకొద్దీ \sin \theta, \tan \theta, \sec \theta విలువలు పెరుగుతాయి.
• \theta విలువ 0^\circ నుండి 90^\circ కు పెరిగేకొద్దీ \cos \theta, \cot \theta, \text{cosec } \theta విలువలు తగ్గుతాయి.
• \theta = 45^\circ వద్ద: \sin 45^\circ = \cos 45^\circ, \tan 45^\circ = \cot 45^\circ, \sec 45^\circ = \text{cosec } 45^\circ.
• 0^\circ \le \theta \le 90^\circ పరిధిలో \sin \theta, \cos \theta ల గరిష్ట విలువ 1, కనిష్ట విలువ 0.

4. పూరక కోణాల త్రికోణమితి నిష్పత్తులు (Complementary Angles)

రెండు కోణాల మొత్తం 90^\circ అయితే వాటిని పూరక కోణాలు అంటారు (A + B = 90^\circ).

• \sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta మరియు \cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta
• \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta మరియు \cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta
• \sec(90^\circ - \theta) = \text{cosec } \theta మరియు \text{cosec }(90^\circ - \theta) = \sec \theta

5. త్రికోణమితి సర్వసమీకరణాలు (Trigonometric Identities)

1. మొదటి సర్వసమీకరణం: \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
   • \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \implies \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}
   • \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \implies \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}
2. రెండవ సర్వసమీకరణం: \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1
   • \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta
   • \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1
   • కీలక ఫలితం: (\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1 \implies \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta}
3. మూడవ సర్వసమీకరణం: \text{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1
   • \text{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta
   • \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta - 1
   • కీలక ఫలితం: \text{cosec } \theta - \cot \theta = \frac{1}{\text{cosec } \theta + \cot \theta}

6. త్రికోణమితి అనువర్తనాలు (Applications of Trigonometry)

• దృష్టి రేఖ (Line of Sight): పరిశీలకుని కంటి నుండి చూడబడే వస్తువుకు గీసిన సరళరేఖ.
• క్షితిజ సమాంతర రేఖ (Horizontal Line): పరిశీలకుని కంటి మట్టానికి సమాంతరంగా భూమికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖ.

ఉన్నత కోణం మరియు నిమ్న కోణం

           (వస్తువు)
             /|
            / |
(దృష్టి రేఖ) /  |  ఎత్తు (h)
          /   |
         /θ___|
   (పరిశీలకుడు)  దూరం (d)
   [ఉన్నత కోణం: పైకి చూసినప్పుడు]

1. ఉన్నత కోణం (Angle of Elevation):
   • పరిశీలకుని కంటి మట్టం కంటే ఎత్తులో ఉన్న వస్తువును పైకి చూసినప్పుడు, దృష్టి రేఖ క్షితిజ సమాంతర రేఖతో చేసే కోణాన్ని ఉన్నత కోణం అంటారు.
2. నిమ్న కోణం (Angle of Depression):
   • పరిశీలకుని కంటి మట్టం కంటే దిగువన ఉన్న వస్తువును కిందికి చూసినప్పుడు, దృష్టి రేఖ క్షితిజ సమాంతర రేఖతో చేసే కోణాన్ని నిమ్న కోణం అంటారు.
3. గమనిక: క్షితిజ సమాంతర రేఖలు సమాంతరంగా ఉండటం వల్ల ఏకాంతర కోణాలు సమానం \implies ఉన్నత కోణం = నిమ్న కోణం.

7. TET మోడల్ సమస్యలు & సాధనలు (Simple Practice Problems)

ఉదాహరణ 1: \sin \theta = \frac{3}{5} అయితే \tan \theta విలువ ఎంత?

• సాధన:
  • \text{ఎదుటి భుజం} = 3, \text{కర్ణము} = 5.
  • పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం \text{ఆసన్న భుజం} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4.
  • \tan \theta = \frac{\text{ఎదుటి భుజం}}{\text{ఆసన్న భుజం}} = \frac{3}{4}.

ఉదాహరణ 2: \frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ} విలువ ఎంత?

• సాధన:
  • \sin 18^\circ = \sin(90^\circ - 72^\circ) = \cos 72^\circ.
  • \frac{\cos 72^\circ}{\cos 72^\circ} = 1.

ఉదాహరణ 3: \sec \theta + \tan \theta = 4 అయితే \sec \theta - \tan \theta విలువ ఎంత?

• సాధన:
  • \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} = \frac{1}{4} = 0.25.

ఉదాహరణ 4: ఒక స్తంభం నీడ పొడవు దాని ఎత్తుకు సమానమైతే, సూర్యుని ఉన్నత కోణం ఎంత?

• సాధన:
  • ఎత్తు = h, నీడ పొడవు = d, ఇక్కడ h = d.
  • \tan \theta = \frac{\text{ఎత్తు}}{\text{నీడ పొడవు}} = \frac{h}{h} = 1.
  • \tan \theta = \tan 45^\circ \implies \theta = 45^\circ.

  
  

  త్రికోణమితి అనువర్తనాలలో (Heights and Distances) సాంప్రదాయ పద్ధతిలో \tan \theta, \sin \theta సమీకరణాలు రాయకుండా, భుజాల నిష్పత్తుల ఆధారంగా ప్రశ్నలను 5 నుండి 10 సెకన్లలో సాధించవచ్చు.

  1. 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ త్రిభుజ నిష్పత్తి ట్రిక్

  ఈ రకమైన త్రిభుజంలో రెండు కోణాలు సమానం (45^\circ), కాబట్టి ఇది సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజం. దీని భుజాల నిష్పత్తి:

  45^\circ : 45^\circ : 90^\circ \implies 1 : 1 : \sqrt{2}

  కోణం	ఎదుటి భుజం విలువ	అర్థం
  45^\circ	x	ఎత్తు (h)
  45^\circ	x	దూరం / భూమి (d)
  90^\circ	x\sqrt{2}	కర్ణము (నిచ్చెన / తాడు పొడవు)

  • గోల్డెన్ రూల్: ఉన్నత కోణం 45^\circ ఉన్నప్పుడు ఎత్తు = దూరం (h = d).
  • కర్ణం కావాలంటే ఏదైనా భుజాన్ని \sqrt{2} తో గుణించాలి.

  2. 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ త్రిభుజ నిష్పత్తి ట్రిక్

  ఇది TET పరీక్షల్లో అత్యధికంగా అడిగే మోడల్. దీని భుజాల నిష్పత్తి:

  30^\circ : 60^\circ : 90^\circ \implies 1 : \sqrt{3} : 2

  కోణం	ఎదుటి భుజం విలువ	షార్ట్‌కట్ రూల్
  30^\circ ఎదురుగా	x	ఇది అతిచిన్న భుజం (బేస్ యూనిట్).
  60^\circ ఎదురుగా	x\sqrt{3}	30^\circ ఎదుటి భుజాన్ని \sqrt{3} తో గుణించాలి.
  90^\circ ఎదురుగా (కర్ణం)	2x	30^\circ ఎదుటి భుజానికి ఖచ్చితంగా రెట్టింపు (2 \times x) ఉంటుంది.

  • రివర్స్ రూల్: 60^\circ ఎదుటి భుజం విలువ తెలిస్తే, 30^\circ ఎదుటి భుజం కోసం దానిని \sqrt{3} తో భాగించాలి (\frac{\text{భుజం}}{\sqrt{3}}).

  3. రెండు కోణాలు ఉండే సందర్భాలు (Double Angle Case - Direct Tricks)

  స్తంభం వైపు లేదా దూరంగా కదులుతున్నప్పుడు ఏర్పడే రెండు కోణాల సమస్యలకు షార్ట్‌కట్స్:

  కేస్ 1: 30^\circ మరియు 60^\circ కలయిక

  • పరిశీలకుడు 30^\circ నుండి 60^\circ కు మారినప్పుడు ప్రయాణించిన దూరం d, మరియు 60^\circ వద్ద స్తంభం నుండి ఉన్న దూరం x అనుకుంటే:
    • d = 2x (నడిచిన దూరం 60^\circ వద్ద ఉన్న దూరానికి రెట్టింపు).
    • స్తంభం ఎత్తు h = x\sqrt{3}.
    • పరిశీలనా బిందువుల మధ్య దూరం: d = \frac{2h}{\sqrt{3}} లేదా h = \frac{d\sqrt{3}}{2}.

  కేస్ 2: జనరల్ ఫార్ములా (ఏ రెండు కోణాలకైనా)

  పరిశీలకుడు d దూరం జరిగిప్పుడు కోణాలు \theta_1, \theta_2 మారితే (\theta_2 > \theta_1):

  h = \frac{d}{\cot \theta_1 - \cot \theta_2}

  4. షార్ట్‌కట్ మోడల్ సమస్యలు & సాధనలు

  ఉదాహరణ 1: ఒక గోడకు వేసిన నిచ్చెన భూమితో 60^\circ కోణం చేస్తుంది. గోడ నుండి నిచ్చెన అడుగు భాగం 10\text{ m} దూరంలో ఉంటే, గోడ ఎత్తు మరియు నిచ్చెన పొడవు ఎంత?

  • సాధన (ట్రిక్ ద్వారా):
    • లంబకోణ త్రిభుజంలో కోణాలు: 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ.
    • భూమి (60^\circ వద్ద కోణం చేస్తుంది కాబట్టి 30^\circ కు ఎదురుగా ఉండే భుజం) = 10\text{ m} (x = 10).
    • గోడ ఎత్తు (60^\circ కు ఎదురుగా ఉండే భుజం) = x\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\text{ m}.
    • నిచ్చెన పొడవు (కర్ణం - 90^\circ ఎదురుగా ఉండే భుజం) = 2x = 2 \times 10 = 20\text{ m}.

  ఉదాహరణ 2: 75\text{ m} ఎత్తు గల ఒక భవనం పైనుండి ఒక కారును చూసినప్పుడు నిమ్న కోణం 30^\circ నుండి 60^\circ కు మారింది. ఆ సమయంలో కారు ప్రయాణించిన దూరం ఎంత?

  • సాధన (ట్రిక్ ద్వారా):
    • ఎత్తు h = 75\text{ m}.
    • 60^\circ వద్ద స్తంభం నుండి దూరం x = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{75}{\sqrt{3}} = 25\sqrt{3}\text{ m}.
    • కారు ప్రయాణించిన దూరం d = 2x = 2 \times 25\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\text{ m}.

  ఉదాహరణ 3: ఒక చెట్టు గాలికి విరిగి, దాని పైభాగం భూమికి 30^\circ కోణంతో తాకింది. చెట్టు అడుగు నుండి అది తాకిన బిందువుకు దూరం 9\text{ m} అయితే, అసలు చెట్టు మొత్తం ఎత్తు ఎంత?

  • సాధన (ట్రిక్ ద్వారా):
    • భూమి మీది దూరం (60^\circ కు ఎదురుగా ఉండే భుజం) = 9\text{ m}.
    • నిటారుగా ఉన్న భాగం (30^\circ ఎదుటి భుజం) x = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\text{ m}.
    • విరిగి వాలిన భాగం (కర్ణం - 90^\circ ఎదుటి భుజం) = 2x = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ m}.
    • చెట్టు మొత్తం ఎత్తు = \text{నిటారు భాగం} + \text{విరిగిన భాగం} = 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\text{ m}.