1. భిన్నాలు (Fractions)
ఒక మొత్తాన్ని సమాన భాగాలుగా విభజించినప్పుడు, అందులో తీసుకున్న భాగాలను సూచించే దానిని 'భిన్నం' అంటారు.
* రూపం: భిన్నాన్ని p/q రూపంలో రాస్తాము (ఇక్కడ q not equal to 0).
* పై భాగాన్ని లవం (Numerator) అని, కింది భాగాన్ని హారం (Denominator) అని అంటారు.
భిన్నాల రకాలు:
* క్రమ భిన్నం (Proper Fraction):
లవం, హారం కంటే చిన్నదిగా ఉంటే దానిని క్రమ భిన్నం అంటారు. (లవం < హారం).
* ఉదాహరణ: 2/5, 3/7, 1/4
* క్రమ భిన్నం విలువ ఎప్పుడూ 1 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
* అపక్రమ భిన్నం (Improper Fraction):
లవం, హారం కంటే పెద్దదిగా లేదా సమానంగా ఉంటే దానిని అపక్రమ భిన్నం అంటారు.
(లవం /హారం).
* ఉదాహరణ: 5/3, 7/4, 8/8
* దీని విలువ ఎప్పుడూ 1 కి సమానం లేదా 1 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.
* మిశ్రమ భిన్నం (Mixed Fraction):
ఒక పూర్ణాంకం మరియు ఒక క్రమ భిన్నం కలయికను మిశ్రమ భిన్నం అంటారు.
* ఉదాహరణ: 2×1/3, 4×3/5
* మిశ్రమ భిన్నాలను ఎల్లప్పుడూ అపక్రమ భిన్నాలుగా మార్చవచ్చు.
2×1/3 = (2 ×3) + 1/3 = 7/3
* సజాతి భిన్నాలు (Like Fractions):
ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలను సజాతి భిన్నాలు అంటారు.
* ఉదాహరణ: 1/5, 2/5, \4/5
* విజాతి భిన్నాలు (Unlike Fractions):
వేర్వేరు హారాలు కలిగిన భిన్నాలు.
* ఉదాహరణ: 1/2, 2/3, 3/4
* సమాన భిన్నాలు (Equivalent Fractions):
ఒకే విలువను సూచించే భిన్నాలు. లవ, హారాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా, భాగించినా ఇవి ఏర్పడతాయి.
* ఉదాహరణ:
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
* గుణకార విలోమం (Reciprocal of a Fraction):
ఒక భిన్నంలోని లవ, హారాలను తారుమారు చేస్తే వచ్చే భిన్నం.
* 3/5 యొక్క విలోమం 5/3
* ఏదైనా భిన్నాన్ని దాని విలోమంతో గుణిస్తే లబ్ధం '1' వస్తుంది.
భిన్నాలపై చతుర్విధ ప్రక్రియలు:
* కూడిక/తీసివేత: విజాతి భిన్నాలను కూడేటప్పుడు లేదా తీసివేసేటప్పుడు ముందుగా వాటి హారాల క.సా.గు (LCM) కనుక్కొని, సజాతి భిన్నాలుగా మార్చుకుని ఆ తర్వాత కూడాలి/తీసివేయాలి.
* గుణకారం:
a/b×c/d = a× c/(b ×d)(లవాల లబ్ధం / హారాల లబ్ధం)
* భాగహారం:
ఒక భిన్నాన్ని మరొక భిన్నంతో భాగించడానికి, మొదటి భిన్నాన్ని రెండవ భిన్నం యొక్క విలోమంతో గుణించాలి.
2. దశాంశాలు (Decimals)
హారంలో 10, 100, 1000... వంటి పది యొక్క ఘాతాలు ఉన్న భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలు అంటారు. దశాంశ బిందువు (Decimal Point) కు ఎడమ వైపు పూర్ణాంక భాగం, కుడి వైపు దశాంశ భాగం ఉంటాయి.
* స్థాన విలువలు: ఉదాహరణకు 34.567 లో:
* 5 స్థాన విలువ = దశాంశం (Tenths) = 5/10 = 0.5
* 6 స్థాన విలువ = శతాంశం (Hundredths) = 6/100 = 0.06
* 7 స్థాన విలువ = సహస్రాంశం (Thousandths) = \7/1000} = 0.007
దశాంశ భిన్నాల రకాలు:
* అంతమయ్యే దశాంశాలు (Terminating Decimals):
భాగహారం చేసినప్పుడు శేషం సున్నా వచ్చే దశాంశాలు.
* ఉదాహరణ: \frac{1}{2} = 0.5, \frac{1}{4} = 0.25
* షార్ట్ కట్: ఒక భిన్నం యొక్క హారాన్ని ప్రధాన కారణాంకాలుగా విడగొట్టినప్పుడు కేవలం 2 లేదా 5 లు మాత్రమే ఉంటే, అది అంతమయ్యే దశాంశం అవుతుంది.
* అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశాలు (Non-Terminating Repeating Decimals):
భాగహారంలో శేషం సున్నా రాదు మరియు దశాంశ భాగంలో అంకెలు పదే పదే వస్తాయి (ఆవర్తనం చెందుతాయి).
* ఉదాహరణ:
1/3= 0.333... = 0.3^
* వీటిని మళ్ళీ రెండు రకాలుగా విభజిస్తారు:
* శుద్ధ ఆవర్తన దశాంశం:
దశాంశ బిందువు తర్వాత ఉన్న అంకెలన్నీ ఆవర్తనం చెందుతాయి. ఉదాహరణ: 0.\overline{45}
* మిశ్రమ ఆవర్తన దశాంశం:
దశాంశ బిందువు తర్వాత కొన్ని అంకెలు ఆవర్తనం చెందవు, ఆ తర్వాత అంకెలు ఆవర్తనం చెందుతాయి. ఉదాహరణ: 0.2\overline{35}
ఆవర్తన దశాంశాలను భిన్నాలుగా (p/q రూపంలోకి) మార్చడం (TET స్పెషల్ ట్రిక్స్):
పరీక్షలో ఎక్కువగా అడిగే ప్రశ్నలు ఇవే:
దశాంశాలపై పరికర్మలు:
* గుణకారం: ఒక దశాంశ సంఖ్యను 10, 100, 1000 లతో గుణిస్తే, బిందువు కుడివైపుకు (వరుసగా 1, 2, 3 స్థానాలు) జరుగుతుంది.
* * భాగహారం: ఒక దశాంశ సంఖ్యను 10, 100, 1000 లతో భాగిస్తే, బిందువు ఎడమవైపుకు జరుగుతుంది.
* ముఖ్యమైన సూత్రాలు / పాయింట్స్:
* రెండు భిన్నాల మధ్య పెద్దది/చిన్నది కనుక్కోవడానికి అడ్డగుణకారం (Cross Multiplication) పద్ధతి వాడాలి.
* \frac{a}{b} మరియు \frac{c}{d} లలో ad > bc అయితే \frac{a}{b} > \frac{c}{d} అవుతుంది.
* భిన్నాల క.సా.గు (LCM) = (లవాల క.సా.గు) / (హారాల గ.సా.భా)
* భిన్నాల గ.సా.భా (HCF) = (లవాల గ.సా.భా) / (హారాల క.సా.గు)
* భిన్నాలను ఆరోహణ (చిన్న నుండి పెద్ద), అవరోహణ (పెద్ద నుండి చిన్న) క్రమాల్లో అమర్చడం పై తప్పనిసరిగా ప్రాక్టీస్ చేయాలి.
Please give your comments....!!!